L’ultimo teorema di Fermat

Regia: John Lynch, Simon Singh

Consulenza: Marco Franciosi

“La mia esperienza con la matematica è quella di un uomo che entra in una stanza buia: all’inizio non sa come muoversi; poi, piano piano, comincia a trovare dei punti di riferimento per potersi orientare; infine –dopo sei mesi- trova l’interruttore della luce e tutto appare nitidamente al proprio posto”. Queste sono le parole di Andrew Wiles che fanno da premessa al documentario.

Il documentario è dedicato alla storia di uno dei più famosi teoremi di matematica (forse il più famoso) e dell’impresa titanica di Andrew Wiles, l’uomo che è riuscito a darne una dimostrazione completa.

Chi era Fermat e cosa dice L’ultimo Teorema di Fermat

Fermat era un giudice francese vissuto nel ‘600 appassionato di matematica, abilissimo nel proporre enigmi matematici, di cui spesso non dava la soluzione. Mentre studiava il libro II dell’Arithmetica di Diofanto, alle pagine dedicate ai problemi e alle osservazioni intorno al Teorema di Pitagora, Fermat scrisse una nota a margine del libro:

“E’ impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.”

Questo è l’enunciato, apparentemente innocuo, dell’Ultimo Teorema di Fermat. Si chiama “Ultimo” perché è l’ultimo dei quesiti lasciati da Fermat ad aver avuto risposta. Il problema è relativo ad una generalizzazione del Teorema di Pitagora. Tutti conoscono il Teorema di Pitagora e sin dall’antichità era nota l’esistenza di terne pitagoriche (cioè l’esistenza di terne di numeri interi che risolvono l’equazione di Pitagora), come ad esempio (3,4,5) , (5,12,13) oppure (20, 21, 29).

Fermat afferma che sostituendo all’esponente 2 qualsiasi numero intero maggiore di 2 non è possibile trovare una terna di numeri interi che risolvono l’equazione così modificata.

Al termine della sua nota Fermat aggiunge: ”Ho una dimostrazione di questo fatto ma il margine è troppo piccolo per contenerla”.

Esigenza di una dimostrazione

Nei secoli successivi tutti i più grandi matematici hanno affrontato il problema senza però giungere ad una dimostrazione matematica rigorosa.

Una dimostrazione matematica consiste in una successione di calcoli e deduzione logiche che permettono di arrivare ad una certezza assoluta della soluzione del problema. Con un computer è impossibile giungere ad una dimostrazione: qualsiasi quantità di numeri si provi sarà sempre finita, mentre i numeri sono infiniti!

Gli studi di Andrew Wiles e alcuni sviluppi della matematica del XX secolo

All’inizio degli anni ’70 Andrew Wiles comincia la sua carriera di ricercatore all’Università di Cambridge, studiando le Curve Ellittiche.

Le curve ellittiche non hanno niente a che fare con le curve né con le ellissi. I punti di una curva ellittica sono soluzione di un’equazione algebrica di grado 3 nelle incognite x e y ,detta ellittica, dove le incognite appartengono al campo dei numeri complessi. Una curva ellittica può essere efficacemente rappresentata da una ciambella.

Anni prima (più precisamente negli anni ’50) due matematici giapponesi, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, studiando le curve ellittiche e le Forme Modulari arrivarono a congetturare –senza però portare una dimostrazione- un’ importante connessione tra “L’Universo Matematico delle Curve Ellittiche” e tra “L’Universo Matematico delle Forme Modulari” così apparentemente diversi.

E’ praticamente impossibile spiegare cosa siano le forme modulari. Si può dire che sono funzioni nella variabile complessa z dotate di infinite simmetrie e moltissime interessanti proprietà.

La congettura di Taniyama e Shimura può essere vista come un ponte tra due universi diversi che permette di mettere in corrispondenza ogni particella di un universo con una particella dell’altro ed è di per sé di notevole importanza. Negli anni la sua importanza è aumentata poiché è apparsa la relazione della congettura con L’Ultimo Teorema di Fermat.

Andrew Wiles e L’Ultimo Teorema di Fermat

Negli anni ’80 grazie ai risultati di Gerhard Frey e di Ken Ribet fu evidente che la congettura di Taniyama e Shimura implicava L’Ultimo Teorema di Fermat. In altre parole, se fosse esistita una soluzione intera dell’equazione di Fermat, questa avrebbe prodotto una curva ellittica con proprietà così strane da rendere falsa la congettura dei due giapponesi.

Wiles, per realizzare il sogno di risolvere L’Ultimo Teorema di Fermat, doveva quindi dimostrare la congettura di Taniyama e Shimura. Per sette anni lavorò in assoluta segretezza, affrontando con tecniche vecchie e nuove il problema di dimostrare l’equivalenza tra curve ellittiche e forme modulari. Finalmente, in una conferenza tenutasi a Cambridge annunciò di essere riuscito a completare i suoi calcoli , dimostrando così L’Ultimo Teorema di Fermat.

La sua dimostrazione, così come era scritta, conteneva però un errore fondamentale e di non facile soluzione nella fase iniziale, che rischiava di far crollare come un castello di carte l’intera costruzione matematica. Per Wiles furono mesi di frustrazione: cercò di trovare la soluzione, anche con l’aiuto di un suo ex allievo, ripercorrendo le tappe fondamentali della teoria di Flach-Kolyvagin, ma la soluzione sembrava sfuggire.

All’improvviso arrivò l’illuminazione: lo stesso motivo che bloccava lo sviluppo della teoria di Flach-Kolyvagin permetteva di risolvere il problema usando una vecchia teoria –la teoria di Iwasawa- da lui abbandonata tre anni prima. Il teorema era così definitivamente dimostrato!