Numerical Analysis  and Computational Mathematics

Le Lezioni sono tenute dal Prof. Luca Gemignani, i mercoledi ore 14:30-17:30 aula F09 ad Ingegneria.

Le esercitazioni sono divise in due gruppi:

• martedi ore 16:30-18:30 aule SI1 e SI3, esercitatore Sergio Steffè.
• giovedi ore 11:30-13:30 aule SI1 e SI3, esercitatore Federico Giovanni Poloni.

Nelle prime due esercitazioni si introduce l'uso del programma commerciale Matlab e degli analoghi programmi Open Source Octave e Scilab, utilizzando i lucidi preparati negli anni scorsi dalla Prof.ssa Lidia Aceto.

Successivamente si utilizza sistematicamente Matlab per svolgere gli esercizi sugli argomenti di Calcolo Numerico proposti dal Prof. Luca Gemignani. di cui riportiamo i testi e alcuni calcoli relativi agli esercizi fatti in matlab.

• terza esercitazione
  
  
• quarta esercitazione
  
  
• quinta esercitazione
  
  
• sesta esercitazione
  
  
• settima esercitazione
  • Primi esperimenti con una matrice a freccia.
  • Gauss Seidel con la matrice a freccia
  • Calcolo del rango di una matrice
  
  
• ottava esercitazione: questo è un facsimile di possibile compito di esame.
  Contiene domande teoriche e calcoli da fare al computer.
  Le matrici di tipo Leslie e Lotka, a volte dette anche di Eulero-Lotka, servono per modellizzare in modo piuttosto rudimentale la crescita di una popolazione divisa per fascie di età: ciascuna fascia di età contribuisce alle nascite con dei coefficienti di natalità e a causa della mortalità ha un coefficiente di sopravvivenza che dice quale percentuale passa alla fascia di età successiva.
  • Matrice tipo Leslie e Lotka: primi tests
  • Matrice tipo Leslie e Lotka: caso dei pesci
  • Matrice tipo Leslie e Lotka: funzione che fa k iterazioni
  Un altro facsimile di possibile compito di esame è lasciato come esercizio per casa.
  
  
• nona esercitazione: un altro un facsimile di possibile compito di esame.
  Anche qui ci sono domande cui si risponde in base alla teoria ed altre che richiedono sperimentazione con il matlab;
  si noti in particolare che alla domanda sui cerchi di Gershgoring si risponde più velocemente facendo il calcolo a mano che non con il test in Matlab (che deve disegnare centinaia di cerchi...).
  • forse conviene creare due distinte funzioni, una, faia.m, che costruisce la matrice A, e la seconda, jacobistep.m, che implementa un singolo passo del metodo di Jacobi.
  • in questa sessione, dopo aver testato le due funzioni costruite sopra, si confronta la convergenza del metodo di Jacobi in due situazioni simili ma con un parametro diverso.
  
  
• decima esercitazione: ancora un possibile compito di esame; questa volta si tratta di risolvere una equazione.
  La soluzione analitica è LambertW(1), ma le funzioni di Lambert non sono così diffuse come quelle trigonometriche, per cui si usano dei metodi numerici.
  • una apposita funzione di matlab rende molto facile trovare la soluzione in pratica.
  • vediamo ora di confrontare un metodo iterativo con il metodo di Newton.
  
  
• undicesima esercitazione: questa volta si tratta di studiare l'equazione di Eulero, che è una equazione ben nota agli astronomi e che serve al calcolo delle effemeridi.
  Per qualche dettaglio in più sulla parte astronomica si può vedere questo sito, che cita questa nota : siamo nel caso ellittico, la nostra incognita è l'anomalia eccentrica e i dati sono l'eccentricitià (epsilon, inferiore a 1 ) e la anomalia media (eta ), e serve una grande precisione numerica sul risultato.
  • l' m-file keplero.m definisce la funzione di cui vanno cercati gli zeri; l' m-file kep.m calcola uno zero col metodo della bisezione usando l'm-file passo2.m che esegue un singolo passo del metodo della bisezione.
  • in questa sessione troviamo alcuni zeri sia col metodo della bisezione che con il metodo iterativo.
  
  
• dodicesima esercitazione: polinomi di interpolazione, e altri esercizi collegati, come l'integrazione numerica.
  • prima sessione di prova per scrivere il polinomio di interpolazione.
  • m-file interp1.m per l'interpolazione con n punti e sessione di verifica
  • analogo interp2.m punti non equispaziati e sessione di verifica e confronto
  • per l'interpolazione con ascisse equispaziate si può usare i polinomi di Newton:
    Si calcolano le differenze finite successive, e il calcolo del polinomio non richiede la inversione della matrice di Vandermonde.
    Si verifica con la stessa funzione vista in precedenza che sia lo stesso polinomio.
    
    
  • Metodi per calcolare polinomi di matrici: confronto tra il metodo stupido e il metodo di Horn.
    
    
  • Una prova di integrazione numerica: si cerca di calcolare il logaritmo come integrale di 1/t tra uno e x, con il metodo dei trapezi.
  • e con il metodo di Cavalieri-Simpson e si sperimenta le differenze dei due metodi.

Altri esercizi possono essere reperiti nella pagine del Dott. Vanni Noferini, (link "Teaching") che ha tenuto le esercitazioni nell' Anno Accademico precedente (2011-2012).

Ricordiamo infine che il libro di testo adottato, Calcolo Scientifico di A.Quarteroni,F.Saleri,P.Gervasio contiene moltissimi esempi, esercizi e problemi e che i codici matlab sono disponibili sul loro sito (copia locale qui in caso il sito fosse irraggiungibile)