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Laboratorio 9
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Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni e sistemi di grado superiore si riducono a sistemi del primo ordine.
Vediamo degli esempi in matlab/octave; iniziamo con l'attrattore di Lorentz, (i coefficienti come dai lucidi di Meini):
x'= 10*(y-x)
y'= 28*x-y-x*z
z'= x*y-8*z/3
x(0)=0, y(0)=1, z(0)=0
con t nell'intervallo [0,50]
Disegniamo poi la curva parametrica (x(t),z(t)).
Per prima cosa scriviamo il sistema definendo la funzione lorenz. Poi diamo questi comandi:
[tr,xr]=ode45(@lorenz,[0,50],[0,1,0]);
plot(xr(:,1),xr(:,3));
Si noti che è stato necessario usare la @ davanti alla chiamata della funzione, perchè ad ode45 va
passato uno handler, e inoltre ad ogni istante i vettori delle componenti sono delle righe, per cui l'evoluzione
temporale viene fatta con il primo indice.
nota: Ci sono molti fenomeni modellizzabili con equazioni del tipo di Lorenz, (oltre alla convezione nei fluidi).
Si provi a confrontare le soluzioni che si ottengono con piccole variazioni sulle condizioni iniziali.
Proviamo ora un classico: la integrazione della equazione del pendolo smorzato:
u''(t)+k*sin(u(t)) +s*u'(t)=0, con assegnati u(0) e u'(0).
In questa equazione u è l'angolo della oscillazione del pendolo, k la costante g/L, ed s un fattore
di smorzamento; possiamo assumere per esempio k=1 ed s=0.01 per iniziare.
esercizio:
si calcoli u(t) tra 0 e 65 integrando numericamente l'equazione differenziale.
si usi la funzione di matlab/octave quiver per disegnare le isocline della equazione vista nel precedente lucido.
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Laboratorio Sperimentale di Matematica Computazionale - Sergio Steffè - AA 2015/2016 - PISA |
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