------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Si consideri un polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili ed . Se ne calcoli il differenziale e il differenziale secondo. Si mostri in generale che se è una matrice la funzione ha differenziale secondo eguale a .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 Sia . Dato il cambio di coordinate , esprimere in funzione di e .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 3 Sia differenziabile ovunque ed definita da:
Verificare che:
dove e .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.4 Determinare i punti critici () delle seguenti funzioni: , , , , , .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Si dica se è di massimo, di minimo o di sella per ciascuna delle seguenti funzioni: , , .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 6 Sia differenziabile ovunque e sia tale che . Dimostrare che la direzione rispetto a cui:
è data da (ovvero il gradiente di una funzione differenziabile da la direzione di massima crescita).
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.7 Qual'è la massima distanza del pumto dai punti dell'insime
? E dall'insieme ?
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro e raggio in .
(b) Si trovi la retta ortogonale alla regione in .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l'angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati:
, , ;
, , ;
, , .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.10 Dato si definisce la funzione distanza da come segue:
Si descrivano, nei seguenti casi, le regioni del piano ove é differenziabile:
(a) ; (b) ; (c) ; (d) .
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 (a) La funzione da in se è iniettiva? È surgettiva? Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.
(b) Sia : si studi l'immagine di , si studi al variare di come sono fatte le fibre . Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.12 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:
su , su