Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003,
Matematica
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ESERCIZIO n. 1 Calcolare :
Scrivere in coordinate polari i numeri complessi
Calcolare :
Dimostrare :
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ESERCIZIO n. 2 Risolvere:
Disegnare le regioni del piano complesso ripettivamente specificate dalle seguenti condizioni:
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ESERCIZIO n. 3 Dimostrare che se
si
ha:
Se ne dia un'interpretazione geometrica.
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ESERCIZIO n. 4
Si provi che il prodotto di somme di due quadrati di numeri interi è
la somma di due quadrati di numeri interi.
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ESERCIZIO n. 5
a- Dati v, z, si provi che l'area del triangolo che li ha come vertici è
b- Dati due numeri complessi z e w si dia un'interpretazone geometrica a e a .
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ESERCIZIO n. 6 Le soluzioni di zn =1 sono
,
.
Per quali
h si ha che
?
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ESERCIZIO n. 7
a- Si definisce . Dato si trovino le soluzoni di w=ez.
b- Si disegni la regione determinata da e la sua immagine tramite .
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ESERCIZIO n. 8
a- Si provi che un polinomio con coefficienti reali ha radici non reali complesse coniugate.
b- Si provi che ogni polinomio a coefficienti reali è prodotto di potenze di binomi di primo grado e di potenze di somme di numeri positivi con quadrati di binomi di primo grado.
c- Si trovi una primitiva di .
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ESERCIZIO n. 9 Una funzione da
in
si dice derivabile se lo sono
le sue componenti. In particolare
e(t)=eit lo è ed è l'unica soluzione di
per cui e(0)=1.
Se , si provi che tutte e sole le soluzioni dell'equazione differenziale , sono del tipo , o del tipo , al variare di e tra tutti i numeri complessi.
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ESERCIZIO n. 10
a- Dati , e mostrare che determina una circonferenza.
b- Cosa determina ?
c- Le funzioni o sono costanti o trasformano cerchi e rette in cerchi o rette.
d- Trovare l'immagine del cerchio unitario e della bisettrice pricipale mediante l'applicazione
.
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ESERCIZIO n. 11
a- Identificando
con
e dato
l'associazione
definisce
un'applicazione lineare da
in se. Si caratterizzino le matrici reali
che corrispondono alla moltiplicazione per un numero complesso.
b- Da considerazioni elementari si ottiene che una trasformazione del piano in se che mantiene le distanze e ha tre punti fissi non allineati è l'identità.
c- Si provi che tutte e sole le trasformazioni del piano in se che mantengono le distanze e hanno l'origine fissa sono del tipo o , con . In particolare sono lineari.