Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica
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El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1
a - Calcolare i seguenti limiti senza usare le funzioni esponenziali e logaritmiche, cercando di usare la definizione di limite, diseguaglianze e le principali proprietà dei limiti:
; , (si provi inoltre che è decrescente); ; , ;
b - Calcolare gli stessi usando gli elementi di calcolo noti.
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ESERCIZIO n. 2 Calcolare i limiti delle seguenti successioni
; ; ; ; , , ,
, , ,
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ESERCIZIO n. 3 Si provino le seguenti implicazioni, e si mostri che le implicazioni
inverse non sono vere.
a - bn >0, esponenzialmente.
b - bn >0, esponenzialmente.
c - an >0, .
d - an >0, .
e - , .
f * - .
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ESERCIZIO n. 5 Si provi che
è decrescente
e che il suo estremo inferiore è non nullo.
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ESERCIZIO n. 6
a - Si provi per induzione .
b - Utilizzando lo sviluppo di Taylor per si provi che per ogni :
definitivamente e quindi definitivamente è crescente.
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ESERCIZIO n. 7
Si calcoli il limite di . Si valuti l'infinitesimo .
Si provi che ove:
Si provi che la successione diverge. Si calcoli
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ESERCIZIO n. 8 * Studiare la convergenza della successione:
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ESERCIZIO n. 9
a - Dato M>0, studiare la convergenza
b * - Studiare la convergenza di .
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ESERCIZIO n. 10 Si consideri la successione
,
.
a - Si provi che non converge.
b * - Quali sono tutti i valori limite di sottosuccessioni della successione data?
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ESERCIZIO n. 11 Una successione di numeri complessi
,
converge ad un numero complesso
se e solo se:
,
cioè se e solo se
.
Provare:
a - e e .
b - se , . (Si assuma che ).