Corso di Laurea in Scienze Geologiche, A.A. 2003-2004, Matematica 30 ottobre 2003
Definizione: - Si dice rango di una matrice il numero massimo per cui una sottomatrice quadrata con tale dimensione ha determinante non nullo.
Definizione: Se è una matrice con righe ed la matrice trasposta è . Quindi la trasposta di una matrice con una riga ed colonne sarà , con colonne ed una riga.
NOTAZIONE: un elemento di considerato come vettore (di spostamento ovvero velocità etc. ) su cui si agisce conviene scriverlo come matrice con righe ed una colonna. Se si considera come matrice relativa ad un'applicazione lineare da ad (come vettore che agisce come forza
Corso di Laurea in Scienze Geologiche, A.A. 2003-2004, Matematica 30 ottobre 2003
Definizione: - Si dice rango di una matrice il numero massimo per cui una sottomatrice quadrata con tale dimensione ha determinante non nullo.
Definizione: Se è una matrice con righe ed la matrice trasposta è . Quindi la trasposta di una matrice con una riga ed colonne sarà , con colonne ed una riga.
NOTAZIONE: un elemento di considerato come vettore (di spostamento ovvero velocità etc. ) su cui si agisce conviene scriverlo come matrice con righe ed una colonna. Se si considera come matrice relativa ad un'applicazione lineare da ad (come vettore che agisce come ovvero impulso etc. ) come matrice con una riga e colonne. Nel primo caso le coordinate generiche vengono scritte con indici in alto, nel secondo con indici in basso.
- Questa convenzione si estende quando: si rappresenta una funzione lineare da a come azione di una matrice con il prodotto (scalare) riga i della matrice per colonna del vettore dato per avere la i componente del vettore risultato; quando si rappresenta la composizione di due funzioni lineari come prodotto righe per colonne delle matrici ad esse rispettivamente associate.
Esercizio: la relazione tra trasposto e prodottto righe per colonne è .
- Si dimostra che il rango di una matrice con righe ed colonne è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare da in associata:
Definizione: - Il luogo di zeri di una funzione polinomiale
di secondo grado in variabili:
si dice quadrica. Se conica. Una quadrica si dice non degenere se .
Osservazione: Poiché: , si assume che , e quindi , sia una matrice simmetrica; i.e. .
Osservazione: si é identificato con il sottospazio affine degli con la prima coordinata eguale ad : . Conviene quindi osservare che il gruppo affine su puó essere identificato con un sottogruppo, del gruppo lineare su , che agisce su tale sottospazio affine di nel seguente modo: alla trasformazione affine da in se si associa l'azione della matrice:
Nelle variabili , considerando che , si ottiene :
CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE CONICHE
Ogni conica puó essere trasformata in una delle seguenti con un
cambiamento di
coordinate affine del tipo
.
: | |||
Parabola | rk , rk | ||
Parabola degenere | rk , rk | ||
() | |||
Parabola degenere ( | rk , rk | ||
) | |||
C. doppiamente degenere | rk | ||
() |
Una famiglia di invarianti classificante é quindi data da
,
, ,
.
CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE NON DEGENERI
Ogni quadrica non degenere puó essere trasformata
in una delle seguenti con un cambiamento di
coordinate affine.
rk | ||
Tipo ellisse-iperbole | ||
Tipo parabola | ||
QUADRICHE NELLO SPAZIO
Ellissoide | , | |
Ellissoide immaginario | , | |
() | ||
Ellissoide degenere | , | |
() | ||
Iperboloide iperbolico | , | |
ad una falda | ||
Iperboloide ellittico | , | |
a due falde | ||
Iperboloide degenere | , | |
() | ||
, | ||
Paraboloide ellittico | ||
Paraboloide iperbolico | ||
() | ||
, | ||
Paraboloide degenere | ||
( | ||
Cilindri su coniche non | ||
degeneri con centro, | ||
eventualmente il vuoto | ||
, | ||
Vuoto o piani paralleli | ||
Retta o piani incidenti | ||
, | ||
Piano``doppio'' |