Part 1. Regularity theory for the one-phase Bernoulli problem.
We will provide a complete analysis of the free boundary for the one-phase problem.
We will prove the optimal (Lipschitz) regularity of the solutions, and we will
introduce the notions of blow-up sequences and blow-up limits,
for which a key tool will be the Weiss monotonicity formula.
We will show how to decompose the free boundary into a “regular set”
and a “singular set” and we will prove that the “regular set” is
a smooth manifold via an epsilon-regularity theorem.
We will then introduce Federer’s dimension reduction principle,
based on the monotonicity formula, in order
to estimate the dimension of the “singular set”.
We will then show that in dimension 2 and 3 the singular set is always empty
and we will prove that in dimension 2 the free boundary is analytic.
Part 2. Two-phase problems and Alt-Caffarelli-Friedman’s monotonicity formulas.
We will discuss the celebrated Alt-Caffarelli-Friedman monotonicity formula
and its application to the regularity of the solutions of the two-phase
Bernoulli problem, as well as its applications to the optimal partition
problem and to the regularity of the solutions of elliptic PDEs.
Part 3. Almgren frequency function and unique continuation.
The aim is to discuss Almgren’s frequency function for solutions to
elliptic PDEs and to show how it can be used to study the structure
of their nodal sets. We will show for instance how to deduce the unique
continuation property (which in its classical form is the fact that the
nodal set has an empty interior) for Schrodinger operators.
Lezione 1 (B.V.) - martedì 28/02/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Il problema di Bernoulli ed il funzionale di Alt-Cafarelli.
Esistenza di minimi, positività, limitatezza e subarmonicità. Formula della media e
definizione puntuale di una funzione di Sobolev subarmonica.
Stima del Laplaciano e continuità Lipschitz dei minimi del funzionale a una fase.
Lezione 2 (B.V.) - giovedì 02/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Non-degenerazione delle soluzioni. Stime di densità dell'insieme di positività.
Convergenenza uniforme delle successioni di blow-up.
Lezione 3 (B.V.) - martedì 07/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Convergenza forte delle successioni di blow-up.
Convergenza degli insiemi di positività.
I limiti di blow-up sono minimi globali.
Formula di monotonia di Weiss.
Omogeneità dei limiti di blow-up.
Classificazione dei blow-up in dimensione due.
Lezione 4 (B.V.) - giovedì 09/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Variazione prima del funzionale di Alt-Caffarelli e le sue conseguenze.
Decomposizione della frontiera libera in parte regolare e parte singolare.
Teorema di epsilon-regolarità (enunciato). Teorema di improvement-of-flatness (enunciato).
L'improvement-of-flatness implica l'epsilon-regolarità (con dimostrazione).
Lezione 5 (B.V.) - giovedì 16/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Soluzioni del problema a una fase in senso di viscosità. I minimi sono soluzioni viscose.
Improvement of flatness: idea della dimostrazione.
Partial Harnack inequality: prima parte della dimostrazione
(il caso in cui la palla di raggio 1/10 è contenuta nell'insieme di positività).
Lezione 6 (B.V.) - martedì 21/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Partial Harnack inequality di De Silva - dimostrazione.
Decay dell'oscillazione delle funzioni della successione linearizzata.
Convergenza della successione dei linearizzati.
Continuità della funzione limite.
La funzione limite è armonice all'interno del semispazio superiore.
Lezione 7 (B.V.) - giovedì 23/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
La funzione limite soddisfa la condizione di Neumann in senso viscoso.
La funzioni armoniche che soddisfano la condizione di Neumann in senso viscoso sono soluzioni classiche.
Sviluppo di Taylor al secondo ordine delle funzioni armoniche limitate.
Conclusione della dimostrazione del teorema di improvement-of-flatness.
Lezione 8 (G.T.) - giovedì 30/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Osservazioni sulla regolarità di ordine superiore per la parte regolare della frontiera libera.
Stime della densità di Lebesgue tramite la formula di Weiss.
Definizione della dimensione critica d*.
Principio di riduzione dimensionale per minimi locali (solo enunciato).
Principio di riduzione dimensionale per limiti blow-up: dimostrazione nel caso d≤d*.
Lezione 9 (G.T.) - martedì 04/04/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Richiami sulla misura di Hausdorff.
Principio di riduzione dimensionale per limiti blow-up: dimostrazione d>d*.
Enunciato dei risultati sull'esistenza di singolarità isolata
in dimensione d=7 e d=3,4 e descrizione dei lavori in letteratura.
Espansione del primo e secondo ordine di soluzioni di PDE e applicazione
alla disuguaglianza di stabilità di Caffarelli-Jerison-Kenig.
Lezione 10 (G.T.) - giovedì 06/04/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Dimostrazione della disuguaglianza di stabilità di Caffarelli-Jerison-Kenig.
Dimostrazione del teorema di Caffarelli-Jerison-Kenig: d*>3.
Lezione 11 (G.T.) - martedì 18/04/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Introduzione del problema a due fasi e della formula di Alt-Caffarelli-Friedman.
Applicazioni varie del risultato di monotonia nella letteratura dei problemi
a frontiera libera. Richiami sui riarrangiamenti simmetrici e loro applicazione
per problemi agli autovalori con condizioni di Dirichlet per l'operatore di
Laplace-Beltrami sulla sfera. Dimostrazione della formula di monotonia di
Alt-Caffarelli-Friedman in dimensione d=2.
Lezione 12 (G.T.) - giovedì 20/04/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Dimostrazione della formula di monotonia di Alt-Caffarelli-Friedman in dimensione d>2.
Legame tra funzioni armoniche omogenee e autovalori sulla sfera.
La diseguaglianza di Friedland-Hayman.
Lezione 13 (G.T.) - giovedì 27/04/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Studio della regolarità otimale per il problema a due fasi.
Dimostrazione della regolarità Holderiana tramite replacement armonico.
Dimostrazione continuità Lipschitz utilizzando
la formula di monotonia di Alt-Caffarelli-Friedman.
Elenco estensione della formula di monotonia nel caso di equazioni con coefficienti variabili.
Lezione 14 (R.O.) - martedì 02/05/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Introduzione al problema della continuazione unica per soluzioni di PDE ellittiche
del second'ordine lineari. Definizione di proprietà di continuazione unica debole
(WUCP) e forte (SUCP). Esempi di PDE (anche non lineari) per cui non valgono WUCP e SUCP.
Riassunto dei principali risultati in bibliografia.
Commenti sull'ottimalità delle ipotesi sui coefficienti e controesempi.
Introduzione del problema specifico su cui si lavorerà nel corso
(equazione di Schrödinger con potenziale in W^{1,∞}).
Introduzione alla formula di monotonia di Almgren e definizione della funzione
frequenza associata al problema N=E/H. Calcolo di E' e H'.
Lezione 15 (R.O.) - giovedì 04/05/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Calcolo (e stima) di N' e stime sulla crescita di H.
Dimostrazione della positività di H.
Riassunto degli step chiave nella dimostrazione.
Derivazione della condizione di doubling.
Dimostrazione della proprietà di continuazione unica forte (SUCP).
Lezione 16 (R.O.) - martedì 09/05/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Dimostrazione della proprietà di continuazione unica da insiemi di misura positiva.
Introduzione all'analisi di blow-up in punti interni al dominio.
Motivazione (individuazione dell'ordine di annullamento preciso della
soluzione in punti interni e del comportamento locale).
Elenco degli step necessari per esistenza e unicità di un limite blow-up.
Analisi di blow-up preliminare, normalizzando con H1/2.
Lezione 17 (R.O.) - giovedì 11/05/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Conseguenze dell'analisi di blow-up preliminare: stime L2 e L∞.
Formula di monotonia di Monneau.
Definizione del funzionale, significato e utilizzo.
Quasi-monotonia del funzionale di Monneau. Nondegeneracy.
Unicità del limite blow-up.
Lezione 18 (R.O.) - martedì 16/05/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Cenni su regolarità e stratificazione dell'insieme nodale.
Introduzione al problema della continuazione unica quantitativa.
Breve storia del problema e referenze bibliografiche con i risultati principali.
Introduzione della funzione frequenza pesata di Kukavica N=E/H (domini convessi).
Calcolo di H' ed E'.
Lezione 19 (R.O.) - giovedì 18/05/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Condizione di doubling per la H.
Condizione di doubling sulla norma L2.
Ottimizzazione nella scelta del peso.
Condizione di doubling sharp e stima ottima del massimo ordine di annullamento.