Propositio 106^a

514 Ex aggregato duarum proximarum radicum in aggregatum quadratorum ex eis multiplicato, producitur numerus qui cum ipso radicum aggregato coniunctus facit duplum aggregati cuborum earundem.

515 Exempli gratia 2 et 3 sunt duae proximae radices, quarum congeries 5, quadrati autem 4 et 9, cubi vero 8, 27, quadratorum cumulus 13, cuborum vero 35. Dico igitur, quod id, quod fit ex 5 in 13, scilicet 65, coniunctum cum 5 facit duplum ipsius 35. Exponatur unitas cum radicibus 2 et 3 et quadrati 4 et 9 cum medio proportionali 6. 516 Itemque cubi 8 et 27 cum duobus mediis proportionalibus 12 et 18 in quibus propter proportionem numerorum, quoniam ex 2 in 4 fit 8 et ex 3 in 4 fit 12, idcirco ex aggregato 2 et 3 in 4 fit aggregatum ipsorum 8 et⁵⁵³12. 517 Non aliter ostendam quod ex dicto 2 et 3 aggregato in 9 fit ipsorum 18 et 27 aggregatum, sicut in octogesima nona demonstravimus. Unde ex aggregato ipsorum 2 et 3 in aggregato ipsorum 4 et 9, hoc est ex 5 in 13, fiet aggregatum ipsorum quatuor numerorum 8, 12, 18, 27. 518 Demonstrandum est igitur quod aggregatum talium quatuor numerorum cum [C:74v] aggregato radicum scilicet cum 5, facit duplum aggregati ipsorum 8 et 27, hoc est quod 65 cum 5 est duplum⁵⁵⁴ ipsius 35 sive quod aggregatum ipsorum 18 et 12 cum 5 coniunctum, est aequale aggregato ipsorum 8 et 27. Quod facile demonstratur. 519 Nam 12 superat 8⁵⁵⁵ in 4; at ipse 18 superatur a 27 in 9. Tanto igitur aggregatum ipsorum 18 et 12 superatur ab aggregato ipsorum 8 et 27 quanto 9 maior est quam 4; sed⁵⁵⁶ 9 [S:73] maior est quam 4 in aggregato ipsorum 2 et 3, hoc est in 5; ergo aggregatum 18 et 12 superatur ab aggregato ipsorum 8 et 27 in 5. 520 Quare aggregatum ipsorum 18 et 12 cum 5 coniunctum, fit aequale aggregato ipsorum 8 et 27. Quod fuit ostendendum. Similiter pro duabus quibuslibet proximis radicibus argumentando procedam, sicut proponitur.