De linearum proiectione situque. Cap 3.

Nam circulorum per polos, horas a meridie terminantium, plana dum secant horologii cuiuspiam planum, faciunt singula sectiones singulas, quae sunt rectae lineae horariae vocatae horarum a meridie exorsarum terminatrices: de quarum numero est meridiana linea, quam meridianus secando facit. Circulorum vero tangentium plana, qui ab occasu vel ortu discernunt horas, dum secant item quodpiam construendi horologii planum singulas et ipsa singula generant in sectionibus rectas horarum ab occasu quoque vel ortu inchoatarum indices. Verum sicut circuli per polos super axe mundi se invicem secant; ita et factae ab iis horariae lineae in uno se vicissim puncto intersecant: quod lineis horariis ductu tangentium circulorum factis non contingit: sicut neque ipsi tangentes circuli communem rectam pro sectione sortiuntur. Quemadmodum itaque in singulis horologiis, pro situ cuiuslibet loci, tales lineae generentur, trademus, absolutis prius praeambulis quibusdam.

Praemittemus duo lemmata; quorum primum erit: si duo plana se invicem secantia tertio quodam plano secentur, factae a tertio plano sectiones quae rectae lineae sunt, se vicissim secant. Ut si duo plana abc [S:167] et cde secent se invicem super rectam bc quae a tertio plano ef secentur: aio, quod sectiones, quas facit planum ef cum planis abc cde quae sunt rectae lineae per tertiam undecimi, se vicissim secant. Nam planum ef secans duo plana abc cde omnino secabit eorum communem sectionem bc. Secet in puncto d itaque punctum d commune erit his tribus planis solum: omnino igitur per d punctum transibunt factae per tertium planum sectiones cum duobus planis primis, quae sint ed af rectae: secant se itaque in puncto. Similiter de tribus aut pluribus planis ostendemus. Alterum lemma erit, si tria, vel plura plana se invicem super eadem recta secent: quorum uni planum quartum aequidistet, reliquam secet: factae a quarto plano sectiones erunt aequidistantes. Ut si tria plana abc bcd bce communem sectionem habeant rectam bc. Planum vero quartum fg aequidistet uni illorum utpote plano bce secetque reliqua abc bcd sintque communes sectiones fa gd rectae. Aio, quod fa gd sunt aequidistantes. Nam, cum planum abc secet plana bce fg iam per 16^am 11^mi communes eorum sectiones af bc aequidistantes erunt: et per eundem gd aequidistabit ipsi bc. Igitur per 9 eiusdem libelli ipsae af dg aequidistantes erunt, quod fuit demonstrandum. Similiter, si fuerint quatuor plana et super unam rectam se invicem secantia, et quintum planum uni illorum aequidistans reliqua tria secuerit; tres in iis factae sectiones erunt aequidistantes. Non aliter si quinque planis communem rectam pro sectione sortitis, superveniat sextum uni aequidistans et caetera secans: quatuor sectiones aequidistantes fient. Quod si sub dicta conditione sex planis septimum inducatur, quinque sectiones aequidistantes in septimo apparebunt: itaque in infinitum. His praemissis, sciendum, quod quemadmodum circuli horarii tam secantes, quam tangentes, atque aequator et paralleli se invicem cancellatim secant; ita et ab illis factae horariae lineae in plano horologii mutuas etiam inter se faciunt sectiones: et interdum aliquas aequidistantias, ut mox constabit. Conicae vero superficies, quarum bases sunt paralleli aequatoris, vertices autem in centro mundi; dum secantur a plano horologii, faciunt in ipso plano curvas quasdam lineas, quae sunt conicae sectiones, et quinque circulos. Quos autem parallelos secant circuli horarii, eorundum conicas sectiones in horologii plano factas secant horariae talium circulorum lineae. Quos etiam [S:168] parallelos tangunt circuli horarii, eorundem quoque curvas in horologii plano proiectas tangunt horariae ipsorum circulorum rectae. Item quorum circulorum periferiae in superficie sphaerae se invicem in eodem puncto secant, eorundem proiectae in planum horologii lineae super unum quoque se punctum vicissim secant. Et sicut circuli horarii per polos secant extremos parallelos super puncta contactuum, in quibus scilicet eos tangunt horarii tangentes in superficie sphaerae; ita et illorum lineae horariae in planum horologii proiectae, secant in eodem plano parallelorum curvas apud tactuum puncta, in quibus videlicet horariae rectae a tangentibus generatae tangunt curvas praedictas. Sed de curvis lineis in secundo libello dicendum.