De horologio verticali et meridiano horizontis obliqui, quaeque in eis flexae secentur et tangantur a lineis horariis. Caput 3
Perseverabo in eadem conorum descriptione, supponens angulum latitudinis loci gac primo minorem dimidio recti: nanque in horologio verticali talis situs horariae lineae secantes secant ellipsim in binis singulae punctis, in quibus tangunt eandem lineae horariae tangentes. Et stylus erit portio axis verticalis: sicut in horizontali horologio fuit portio axis horizontis. Itaque de linea eac quae communis sectio est meridiani et [S:221] horizontis et axis verticalis circuli, capiam aequales portiones ak am quae mihi pro stylis erunt. Et per puncta k m ducam ipsi eac perpendiculares kl mn quae productae coincidant axi apud p q puncta: lateribus conorum apud kl mn puncta: et ipsi hi aequinoctiali apud easdem hi notas. Deinde lineis kl mn superstruam plana triangulis abc ade hoc est plano meridiani orthogonalia: quae per 13am Primi Conicorum, secando conos facient ellipses, quarum diametri primae sunt kl mn. Unde sicut meridianus has ellipses secans, facit lineas kl mn horologiorum scilicet meridianas; ita et reliqui horarii circuli per polos secantes earundem ellipsum plana facient reliquas horarias lineas, quae secantes se super axem apud p q puncta singulae tam unam, quam alteram ellipsim in binis punctis secabunt, in quibus eandem tangent lineae horariae tangentes a circulis horariis conos tangentibus in ipso utriuslibet ellipsis plano factae. Sicut linea horizontalis in punctis k m et linea horae 12ae in punctis l n tangunt ellipses, in quibus easdem secat meridianus. Stylus autem ak in planum kul quod ad meridiem vergit: stylus vero am in planum myn quod ad altum spectat polum; umbram proiiciens, eius horae lineam percutier, a cuius circulo Sol radiaverit. Et in utroque huiusmodi horologio quatuor sunt puncta consyderanda: puncta scilicet p q in quibus singulis lineae horariae secantes se vicissim intersecant: puncta k m quibus gnomones infixi sunt kz ma commune acumen a in centro sphaerae habentes: per quae quidem transit linea horizontalis horae 24ae ab ortu vel occasu. Puncta l n per quae incedit linea horae 12ae horizontali aequidistans. Puncta demum h i umbras aequinoctiales meridianas terminantia. Reliquas lineas hic Lectoris perspicacia, sicut in 13o capite praecedentis libri descriptae sunt, imaginabitur.
In horologio autem verticali obliqui horizontis, cuius latitudo habet dimidium anguli recti, horariae lineae secantes secant parabolen singulae, meridiana excepta in duobus punctis, in quibus lineae horariae tangentes tangunt eandem: quemadmodum in horologio horizontis eiusdem fieri contingit. Ducam ergo in lineamento semel assumpto, per puncta k m qui sunt stylorum aequalium pedes, lineas kl mn ad rectos ipsi eac et axi coincidentes apud pq lineae hai apud ai et super eas structim planities meridiano orthogonales conum utrunque secantes faciant, per undecimam Primi co[S:222]nicorum, parabolas circa diametros kl mn quae sint xkz umy in quibus ipsae diameter communes iam ipsarum parabolarum cum meridiano sectiones erunt lineae meridianae secantes periferias solum apud vertices km per quos incedit linea horizontalis tangens easdem: similiter et aliae horariae lineae se vicissim in puncto p punctoque q secantes per 27am Primi Conicorum, in binis singulae locis parabolam secabunt: ubi et eandem tangentes horariae contingent. Puncta vero h i suscipient extrema umbrarum aequinoctialium in meridie. Et ad summam omnia fient sicut in secunda descriptione horologii horizontalis ad latitudinem gradibus 45 dudum exposita: si pro horizontalibus verticalia plana capiantur, quarum unum ad meridiem, alterum ad extantem vergat polum, indidem solarem radium ad horas indicandas excipiens. At in horologio meridiano cuiuslibet horizontis obliqui lineae horariae, quae a meridie horas numerant, sunt aequidistantes, ut in decimo capite praecedentis libri ostensum est, atque secant hyperbolas utriusque coni contrapositas: sic undecim lineae, paralleli, quarum media est sextae horae index, secant utramque contrapositarum singulae: fiuntque duo ac viginti puncta sectionum. Nam circulus meridianus, cum aequidistans sit horologii talis plano, iam, ut diximus, nequaquam proiicit in plano lineam. In singuli autem dictis duobus ac viginti punctis tangunt easdem periferias singulae tangentes lineae, quae ab ortu vel occasu distinguunt horas: hoc est undenae tangunt unam hyperbolen in punctis, in quibus eam secant lineae horarum aequidistantes: et caeterae undenae tangunt reliquam hyperbolen in punctis totidem ubi eandem secant aequidistantes praedictae. Nam reliquae duae ex numero tangentium, quae sunt linea horizontalis et linea horae 12ae ab ortu vel occasu. Iam hic restant non tangentes: secant enim sese in centro contrapositarum, et utrinque in plano horologii in infinitum productae semper magis ac magis approximantes, ad spacium quovis dato minus, nunquam periferiis hyperbolarum coincidunt. Hic opus est maxime lectoris perspicacia. Repetam eandem conorum structuram: ponam tamen lineam hai communem iam sectionem horizontis, verticalis et aequinoctialis, hoc est, axem meridiani, ita ut ai sit stylus meridiani horologii: omnis enim stylus est axis eius circuli, cui planum horologii aequidistat. Mox per punctum i ducam axi mundi fg aequidistantem lkimn lineam conicis superficiebus incidentem apud puncta k m basibus vero conorum apud puncta l n. Et per lineam ln ducam planum aequidistans meridiano bcde. Eritque planum, in quo fg ln orthogonale tam meridiano, quam plano horologii, planum videlicet circuli horae sextae per polos ducti, qui et super lineam hai secat se cum [S:223] horizonte, verticali et meridiano: et secans conos per verticem, facit rectas ak am aequales.
Itaque planum per lineam ln aequidistans meridiano, iam per 14am Primi Conicorum, faciet in conis singulas hyperbolas, quae vocantur contrapositae: quarum communis diameter km centrumque i quae sint kzx muy. Et sicut planum circuli per polos horae sextae, in quo triangulum akm facit secans planum hyperbolarum lineam horariam ln horae eiusdem; ita et reliqui horarii circuli per polos faciunt idem hyperbolarum planum secantes caeteras horarum lineas parallelos, quae hyperbolarum periferias secant illam in undecim, et hanc in totidem punctis, in quibus easdem contingunt 22 lineae horarum tangentes. Nam reliquae duae tantum nusquam admittunt in horologii plano: quod quidem sic demonstratur: horizon tangit conicas superficies super latus conicum eac. At circulus horae 12ae tangit easdem super latus conicum bad super quae latera secat easdem meridianus, per primum praeambulum praecedentis Capitis. Latus autem eac aequidistans est lineae horizontali in plano hyperbolarum factae: sunt enim communes sectiones horizontis et aequidistantium planorum; et similiter latus bad aequidistat lineae horae 12ae in eodem contrapositarum plano proiectae: sunt enim communes sectiones circuli horae 12ae et aequidistantium planorum per 16 11 Euclidis. Quoniam igitur linea horizontalis et latus contactus in ipso tangente plano aequidistant, iam linea horizontalis per quartum praeambulum, nunquam occurret superficiei conicae, et perinde nunquam tanget hyperbolen, hinc vel inde, quamvis in infinitum utroversum continuata. Similiter, quoniam linea horae 12ae, et latus contactus supercirculus talis horae tangit conum, aequidistant in ipso plano tangente; iam linea horae praefatae, per dictum praeambulum, nunquam conicae superficiei, et perinde contrapositis periferiis quantumlibet utrinque producta, coincidet. Duae igitur lineae tales, scilicet horizontalis, quae est horae 24ae ab ortu vel occasu. Et linea horae 12ae nunquam tangent quamvis in infinitum utrinque continuatae contrapositas hyperbolarum periferias in horologii meridiani plano. Immo omnis linea uni earum aequidistans ipsique et periferiae interiacens omnino producta coincidet periferiae, per tertium praeambulum praemissi: quandoquidem per nonam Undecimi Euclidis aequidistans erit lateri contactus: et extra planum tangens ad partes coni. Ex quibus sequitur, ut dictae duae [S:224] lineae horariae horizontalis, scilicet et horae 12 in plano horologii meridiani per punctum 1 quod est centrum hypebolarum transmissae sint ipsarum non tangentes. Talis enim conditio nullis nisi non tangentibus, accidit. Et hoc erat demonstrandum. Hoc itaque horologium meridianum ita locandum erit, ut linea lin cum linea horizontali, angulum aequalem loci latitudini contineat, horologio penes meridianum disposito. Ut licet stylus ia in axe meridiani situs respiciat ortum vel occasum umbramque iaciat ad eius horae lineam, cuius tunc circulum Sol possidet, quamquam istoc horologium super axe mundi fg converti possit ad diversos situs: sicut in 15 capite praemissi libri docuimus.