De horologio verticali ad latitudinem gradibus 45 maiorem, deque contrapositis periferiis, quas in eo lineae horariae secant et tangunt. Caput 4

In horologio verticali ad latitudinem, quae dimidium recti anguli excedit horariae lineae secantes, secant contrapositas hyperbolas singulae in binis punctis: quae duo puncta sunt, aut in una tantum ex periferiis: aut singula in singulis: sic fiunt 24^or puncta, in quibus totidem lineae horariae tangentes contingunt dictas periferias. Quando autem circulus verticalis secat conos super bina latera contactuum, abscindens videlicet de basi conico arcum duarum, aut 4^or aut sex, aut alterius paris numeri horarum: tunc lineae horariae a circulis conos super dicta latera tangentibus in horologii plano factae, nusquam cum periferiis tactum admittunt: quanquam in infinitum ad utrasque continuatae: sunt enim non tangentes contrapositarum. Lineae vero horariae a circulis per polos, qui super dicta latera conos secant, in horologio factae sunt non tangentium singulae singularum equidistantes: quare per 13^am Secundi Conicorum, et singulae in singulis punctis unam tantum hyperbolarum secabunt. Et evanescent de numero 24 punctorum, duo puncta contactuum, sicut et sectionum. Iam enim in praecedentibus cum constiterit ad latitudinem gradibus 45 minorem, conos, quos horizon contingit verticalis horologii plano secto singulas ellipses efficere, ad latitudinem vero praecise graduum 45 parabolas: hic ad latitudinem gradibus 45 maiorem demonstrandum est, eiusdem plani ductu in huiusmodi conis effici contrapositas hyperbolas. Oportebit enim in praescripta conorum descriptione angulum gac latitudinis talis excedere dimidium recti: et perinde totum angulum bac maiorem esse recto: quare planum circuli verticalis secabit conos per verticem a faciens per 3^am primi [S:225] con triangula a a.

Assumptis ergo, ut in praecedenti, aequalibus stylis ak am ductisque per puncta k m plane ad aequidistantiam verticalis, scilicet dictorum triangulorum, fient per 14^am Primi Conicorum ac 2^um praeambulum primo capite huius libri ductu talium planorum utrinque a verticali binae hyperbolae compositae. Circa diametros kr mt. Ita quidem ut puncta k r m t sint vertices ipsarum km scilicet pedes gnomonum ka ma quae sunt portiones axis ipsius verticalis qui axis est communis sectio horizonti et meridiani, latusque conicum contactus horizontis ad conos. Sicut linea btrd communis sectio meridiani et circuli horae 12^ae latusque contactus eiusdem circuli ad conos. Puncta autem p q in quibus axis mundi occurrit diametris hyperbolarum: et in quibus lineae horariae secantes se invicem secant, de quarum numero sunt ipsae contrapositarum diameter lks nmo puncta demum h i qui terminant umbras meridianas aequinoctiales ki mh. Sicut ergo linea lps a meridiano facta in plano contrapositarum kx rz quae linea meridiana est, secat contrapositas in punctis kr in quibus easdem tangunt in eodem plano linea horizontalis et linea horae 12^ae: ita et singulae caeterae lineae horariae secantes a caeteris circulis horariis per polos in dicto plano factae seque invicem ad punctum p secantes, secant dictas contrapositarum periferias in binis punctis, in quibus easdem tangunt lineae horariae tangentes, a caeteris circulis conos tangentibus in dicto plano factae. Nam, per corollarium 33^ae Secundi Conicorum, nulla linea periferiis contrapositarum, pluribus quam in duobus locis coincidere potest. Itaque si linea horaria secans per punctum p ducta, secet hyperbolen kx in duobus locis, iam tunc ipsi rz contrapositae coincidere non potest per 33^am praedictam. Si autem in uno loco, tunc aut non coincidet contrapositae rz per 13^am Secundi Conicorum, quod tunc accidit, cum aequidistat non tangenti: aut coincidet in uno tam loco, per 16^am eiusdem libri. Et hoc idem intellige de lineis horariis in plano contrapositarum tu my apud punctum q se vicissim secantibus. Namque sicut planum hyperbolarum kx rz ad meridiem vergens suscipit umbras styli ka Sole a circulo verticali ad austrum semoto: ita et planum hyperbolarum tu my ad altum polum respiciens suscipiet umbras styli ma Sole a praefato circulo eodem versus quandoque secedente. Sic habes theoriam horologii verticalis utroversum vergentis. Quanquam si fiat semicircularis revolutio super axe meridiani unius plani situs redigi potest ad situm alterius: ut in 15^o capite praecedentis libri accepisti. [S:226] Ad summam ergo lineae horariae secantes in 24 punctis secabunt periferias, in quibus totidem tangentes tangent easdem. Sic constat prima pars nostrae propositionis. Reliquum sic ostendetur. Ponantur lineae a et a in quibus verticalis circulus secat conos, eaedem, super quas circulus horae unius antemeridianae, et circulus horae unius prostmeridianae secant eosdem conos: et super quas circuli horarum 11^ae et 13 ab ortu vel occasu tangunt eosdem conos. Sic enim arcus paralleli b a verticali abscisus erit duarum horarum. In hoc enim casu lineae dictarum horarum 11 et 13 nunquam coincident periferiis hyperbolarum, quanquam utrinque in infinitum productae et aequidistabunt, linea quidem horae 11 lineae horae unius antemeridianae et reliqua reliquae. Nam, cum circulus horae 11 et circulus horae unius antemeridianae et verticalis secent se invicem super lineam a planum autem hyperbolarum kx rz aequidistet plano verticalis. Iam per 2^um lemma Tertii Capitis praecedenti libri, reliquorum circulorum in plano hyperbolarum sectiones, hoc est, linea horae 11 et linea horae unius ante meridianae invicem aequidistantes erunt, et eodem syllogismo linea horae 13 concludetur aequidistans linea horae unius post meridianae. Cum autem per 16^am 11 Elementorum, linea a aequidistet lineae horae 11 sunt enim communes sectiones circuli talis horae cum planis aequidistantibus sicut circuli verticalis et horologii, sitque a latus contactus, super quod sicut circulus dictae horae tangit conum: propterea, per 4 praeambulum, Primi Capitis huius libri linea horae 11 quamquam in immensum utrinque continuata, nunquam coincidet superficiei conicae, et perinde neque periferiae hyperbolicae. Et hoc idem simili argumento, de linea horae 13 demonstrabitur. Quamobrem tales duae lineae, in hoc exemplo, horae 11 et horae 13 se invicem in puncto medio inter kr secantes, quod est contrapositarum centrum, nusquam et si in infinitum utroversum productae contactum cum periferiis admittent. Imo quaecunque linea ipsarum uni aequidistans, ipsique ac periferiae interiecta, omnino continuata periferiae occurret, per 3 praeambulum Primi Capitis quandoquidem, aequidistans erit, per 9 11 Elementorum lateri contactus ea vel a et extra planum tangens seorsum ad partes coni posita. Ex quibus concluditur, quod tales lineae horarum 11 et 13 sunt non tangentes hyperbolarum contrapositarum kx rz et incedentes per punctum medium ipsorum punctorum kr quod est hyperbolarum centrum: talis enim conditio nullis nisi non tangentibus accidit. Et hoc erat demonstrandum. Id idem faciemus per plano hyperbolarum my tu. Quod, si per circulis horarum unius ante et post meridiem assumpsissemus circulos horarum duarum ante et post meridiem. Et pro circulis horarum 11 et 13 ab ortu vel occasu circulos horarum 10 et 14 indidem numeratarum; id idem pro lineis horarum talium conclusissemus: nam lineae horarum 10 et 14 in eo casu essent non tangentes hyperbolarum. Posito videlicet arcu paralleli b quatuor tunc horarum. Idemque pro caeteris horariis [S:227] circulis hinc inde a meridiano aequaliter semotis. Hoc itaque modo, cum tales duae horariae lineae nunquam tangant periferias, pereunt iam duo puncta contactuum de toto numero, sicut et totidem puncta sectionum: nam duae lineae horarum a meridie hinc inde sumptarum dictis non tangentibus aequidistantes in singulis tam punctis hypebole kx per 13 Secundi Conicorum, coincidunt. Unde supersunt 22 puncta contactuum in quibus et totidem sectiones: quod de propositione demonstrandum supererat. Unde manifestum est, quod id, quod in horologio meridiano semper accidit de linea horizontali et linea horae 12 ab ortu vel occasu non semper evenit in horologio verticali latitudinis dimidio recti anguli maioris de lineis aliquibus horariis, nisi praesupposita circuli verticalis, qualem praediximus, positione. Item in meridiano evanescunt non solum duo puncta contactuum cum sectionibus, sed etiam una ex secantibus horariis, quam scilicet meridiano facere solet: qui tali horologio aequidistans non facit lineam.