De ellipseos diametris et lineatione. Caput 2
Quo autem pacto conica sectio, quae vocatur ellipsis, fiat in cono, sic accipe. Esto, sicut in praecedenti, conus abc cuius basis ac vertex b triangulum per axem abc. Ducatur linea utrique laterum trianguli coincidens cd sitque recta cq ipsi ca perpendicularis: mox planum, in quo cdq secet conum: eritque per 13a Secundi Conicorum, [S:268] facta in cono sectio ellipsis, cuius diameter cd qua per medium secta in puncto h erit h centrum ipsius: et secunda diametros mhn utrinque ad conicam superficiem incidens. Intelligatur autem cd non abscindere de trianguloabc sub contrarium triangulum, quando conus est scalenus et perinde triangulum non isosceles: nam tunc facta in cono sectio per planum dcq esset circulus per 5am Primi Conicorum. Quando itaque conos abc rectus est. Aut scalenus et triangulum, abc rectum ad basim coni: tunc cd diameter orthogonaliter secat secundam diametrum mhn et omnem ei aequidistantem per aequalia secans; et dicitur axis primus, et mn axis secundus.
Quando vero conus abc scalenus est et triangulum abc inclinatur ad planitiem basis conicae, tunc cd diameter oblique secat 2am diametrum mn, et omnes aequidistantes, quae ordinatae dicuntur per aequa, nec vocatur axis.
Regula Prima
Volo igitur ex cd prima diametro elicere secundam: ducam ipsi bc aequidistantem de occurrentemque basi apud e et inter ipsas ac ce per 2am regulam sexti Capitis in praemisso libro ponam mediam proportionalem cf. Dico, quod cf erit secunda diametros ellipsis dmc videlicet ipsi mn aequalis. Quod sic ostendam. Agam per punctum h rectam khl ipsi ac aequidistantem. Nam sic planum, in quo sunt rectae kl mn erit aequidistans circulo ac quandoquidem kl ipsi ac et mn ipsi ch quia ordinata, aequidistant: et faciet per 4am Primi Conicorum, circulum in cono kml. Cumque angulus khm sit rectus, aequalis scilicet ipsi acq angulo iam per 8am Sexti Euclidis mh erit media proportionalis inter kh hl. Quare et mn dupla ipsius mh media proportionalis erit inter duplas ipsarum kh hl. Dupla autem ipsius kh est ipsa ac (quandoquidem cd dupla est ipsius dh). Dupla vero ipsius oh hoc est ipsius hl (sunt enim aequales oh, hl propter triangula hdo, hcl. Invicem aequilatera) est ipsa ec. Igitur mn erit media proportionalis inter ac ce. Sed inter ac ce media proportionalis fuit cf. Ergo cf aequalis ipsi mn. Quod fuit demonstrandum. His peractis, sicut est dc ad cf sic sit, per 4am regulam dicti sexti Capitis cf ad g quae erit recta diameter ad transversam cd. Cum 2a possit speciem primae, per corollarium 13ae Primi Conicorum. Species enim est rectangulum sub transversa, rectaque diametris contentum. Potuissem et inter ipsas oh hk sumere mediam proportionalem hp quae iam aequalis esset ipsi mh quippe quae media proportionalis est inter ipsas kh hl hoc est inter ipsas kh ho cum ho hl sint aequales: et sic habuissem semidiametrum secundam hp cum faciliori demonstratione. [S:269]
Regula Secunda
Proponatur nunc et in plano ellipsis crd circa transversam diametrum cd et ordinatam quandam rs. Volo talis ellipseos secundam diametrum et rectam comperire. Subiungam per 4am regulam Sexti Capitis in praemisso libro ipsis ds sr tertiam in portione continua st atque ita rs poterit rectangulum ds st. Ducam ergo ct lineam, quae apud u punctum occurrat ipsi du perpendicularis super cd. Dico itaque, quod du erit recta diametros ad transversam cd.
Ducatur enim ipsi ds aequidistans tx. Eritque species txu similis speciei cdu quae vocatur species sectionis. Igitur rs ordinata potest rectangulum sx applicatum ad sd receptam ex diametro ad verticem deficiens a rectangulum sdu in specie txu simili speciei cdu. Quare, per 13am Primi Conicorum du recta diameter est, ad quam possunt ordinatae. Deinde, per 5am regulam sexti Capitis praedicti, ponam inter cd du mediam proportionalem mn. Igitur mn poterit rectangulum cdu speciem scilicet primae diametri, et perinde per corollarium 13ae praedictae erit secunda diametros ellipsis propositae rd quod fuit faciendum.
Regula Tertia
Offeratur et ellipsis cd absque diametris et centro: volo ipsius centrum reperire: protraham in ea, per 3am regulam praecedentis Capitis duas diametros cd mn se invicem super h puncto secantes: eritque h punctum centrum quaesitum. Et haec est propositio 45a secundi Conicorum.
Regula Quarta
Item exponatur ellipsis cd. Volo eius axem invenire primum ac secundum. Primo inveniam eius centrum, quod sit h et super h centro describam circulum, qui secet ellipticam periferiam in punctis r t. Et post haec ducam chordam rt quam per aequalia secabo in puncto s et per puncta h s continuabo lineam utrinque periferiae coincidentem chsd quae axis erit quaesitus: quandoquidem diameter existens chordam rt per aequalia et ad rectos partitur. Et haec est propositio 47a Secundi Conicorum. Quae regula etiam per hyperbola serviet. Secta demum cd per aequalia, in puncto h ipsum erit sectionis centrum: per quod incedet secundus axis mn ad primum orthogonalis.
Regula Quinta
Proponantur etiam mihi transversa diametros ellipsis ab recta vero af. Volo delineare ellipsim, cuius dantur ab af diametri. Esto centrum ellipseos e in quo secant se invicem axes sive diametri ab cd. Extendanturque in rectum ea af. Sitque fx dimidium ipsius af. Et ae secetur in quotlibet partes, utputa quatuor aequales in punctis g h k et in totidem secetur fx in punctis s t u. [S:270] His peractis, super ex ku ht gs diametros singulas singuli semicirculi describantur e
x kzu hyt gis. Et a puncto a ipsi ef perpendicularis excitetur a secans periferias in punctis z y i.
In semidiametro autem ellipsis, a punctis gh ke educantur diametro perpendiculares sive ordinatae gm hn ko ec singulae ipsis ai ay az a singulis aequales. Et per puncta a m n o c delinetur flexa necubi angularem fracturam admittens: quae tanto certior delineabitur, quo plures divisiones crebriora fecerint puncta. Et ad eandem dimensionem caeteri tres quadrantes ellipseos acbd absolvantur utrinque ab axe ab sive diametro: traiectis utrinque a punctis sectionum aequalibus lineis. Cuius operationis demonstratio est, quod in semicirculis lineae ai ay az a singulae possunt rectangula, quae in descriptione ellipsis possunt gm hn ko ec singulae ordinatae. Quarum quidem unaquaeque potest rectangulam superficiem receptae ex diametro ad verticem applicatam ipsi rectae af et deficientem specie simili speciei sub baf diametris contentae. Quamobrem, per 13am Primi Conicorum delineata periferia acbd ellipsis erit, cuius diameter transversa ba recta vero af quod erat faciendum. Quod autem a sit maior, quam az et haec maior, quam ay et haec maior, quam ai patet in descriptione ellipsis ex rectangulis, quae possunt.
Corollarium
Unde manifestum est, quod in delineatione ellipseos, semicirculi, ex quibus eliciuntur ordinatae, sunt inaequales, et habent diversa centra: et unusquisque eorum secat reliquos universos. Et maiores circuli cadunt ad partes maioris semidiametri quorsum scilicet maiora spacia.
Corollarium
Hinc ergo rursus habes modum lineandi ellipsim in horologiis.
