De hyperboles diametris et lineatione. Caput 3

Veniamus nunc ad hyperbolen, et in primis coni sectionem ad eam flexam generandam accommodemus: ut inde diametros eius eliciamus.

Esto, sicut prius, conus abc cuius basis ac circulus vertex b triangulum per axim abc cuius et plani secantis communis sectio sit recta ge⁵ occurrens lateri ab producto ad punctum f. Item gm⁶ intelligatur in basi conica ipsi ac perpendicularis ita ut planum secans sit, in quo sunt rectae mg⁷ ge⁸ et facta sectio in cono sit men hyperbole scilicet, cuius transversa diameter erit ef et quando conus abc rectus est: aut si scalenus, triangulum abc orthogonaliter imminet basi conico: tunc gf⁹ diameter secans mn et omnem aliam ordinatam ipsi aequidistantem in sectione per aequalia, secat orthogonaliter. Quando autem conus abc scalenus est, et triangulum abc inclinatur ad basim: tunc gf¹⁰ diameter non ad rectos secat ipsam mn et alias ordinatas: et cum secat orthogonaliter, dicitur axis. Secus vero simpliciter diameter.

Regula Prima

In primis ergo volo ex ef diametro transversa hyperboles men invenire rectam eius diametrum hoc pacto: ducam ipsi de aequidistantem bg et a puncto g ipsi ac perpendicularem gh quae media proportionalis erit inter ag gc. Deinde ipsis bg gh per 4^am regulam Sexti praecedenti libris subiungam in proportione continua lineam k. Et per 5^am regulam eiusdem Capitis, sicut est bg ad k sic sit fe ad el. Eritque per 12^am Primi Conicorum el recta diametros hyperboles men quaesita.

Regula Secunda

Proponatur et in plano, hyperbole quaedam me cuius diameter transversa fed et ordinata md. Volo hinc rectam eius diametrum elicere. Subiungam per 4^am regulam sexti Capitis in praemisso libro ipsis ed dm tertiam proportionalem dp atque ita md poterit rectangulum ed dp. Mox per puncta f p traiiciam rectam, quae occurrat ipsi el ad punctum l ipsi, inquam, el ad rectos excitare ad ipsam fd et compleatur rectangulum edql. Erit enim el recta diametros ad transversam fe quae quaerebatur. Namque md ordinata potest rectangulum edp sub recepta ex trasversa ad verticem applicatum ipsi el et excedens specie lqp simili speciei fel quae species e sectionis sub diametris contenta. Itaque el e recta diametros ad quam possunt ordinatae, per 12^am Primi Conicorum, in *** hyperbola me tam si fed sit axis, quam si simplex diameter. [S:272]

Regula Tertia

Exponatur idem hyperbole me absque diametris et centro. Volo eius centrum invenire. Per tertiam regulam antepraemissi Capitis, ducam in hyperbola me duas diametros rm de quae productae se invicem secent in puncto s eritque s centrum hyperboles, sicut in 45^a secundi docet Apollonius. Nam cum parabole centri expers sit habens diametros aequidistantes. Ellipsis intra periferiae ambitum: hyperbole vero extra centrum sortitur. Per illud enim incedentes diametri ordinatas singulas per medium partiuntur.

Regula Quarta

Esto et hyperbole me iubeor eius axim reperire. Inveniam primo, ex praemissa regula, eius centrum: quod sit s super quod describam circulum, qui secet periferiam hyperbolem in duobus punctis mt. Et ducam chordam mt quae secetur per aequalia in puncto d. Sic enim sd recta, secans talem chordam orthogonaliter ac per medium, erit axis hyperboles me per 47^am Secundi Conicorum.

Regula Quinta

Esto denique hyperboles cuiuspiam transversa diametros ab. Recta vero af. Volo delineare hyperbolen talem. Capiam ex axe, sive diametro partem, utputa ae cui in rectum applico ipsam af. Sitque, per 5^am regulam Sexti Capitis in praemisso libro sicut ba ad af sic ae ad fx. Unde, si ba ae fuerint aequales, erunt et af fx aequales invicem. Et continuabo in rectum ipsi af ipsam fx. Deinde secabo in aliquot partes aequales ipsam ae ut puta quatuor in punctis g h k et in totidem partiar ipsam fx in punctis s t u. Post haec super ex ku ht gs diametros singulas describam singulos semicirculos ez kzu hyt gis et a puncto a excitabo ipsi ex perpendicularem secantem periferias in punctis z y i. In diametro autem hyperboles a punctis k h k e educam diametro perpendiculares sive [S:273] sive ordinatas gm hn ko ec singulas ipsis ai ay az a singulis aequales. Et per puncta a m n o c ducam molli flexu ac iuxta signatorum punctorum tenorem curvatam periferiam, quae erit ipsius hyperboles iam delineandae circumferentia, eo quidem certior, quo crebriora puncta exhibuerit in principio facta divisio. Et similiter, a punctis g h k e protensis ulterius aequalibus spaciis, lineabo reliquum periferiae. Cuius operationis demonstratio est, quod in semicirculis, lineae ai ay az a singulae possunt rectangula, quae in descriptione hyperboles possunt ipsae gm hn ko ec singulae ordinatae: quarum quidem unaquaeque potest rectangulam superficiem sub recepta ex diametro ad verticem et ad rectam af excedentem specie simili speciei sub baf diametris contentae. Quamobrem, per 12 Primi Conicorum, delineata periferia amnoc erit hyperbole, cuius diameter transversa ba recta vero af quod fuit faciendum.

Corollarium

Unde manifestum est, quod in delineatione hyperboles, semicirculi, qui abscindunt ordinatas, minime se contingunt, et habent diversa centra: quando diametri transversa et recta sunt inaequales. Concentrici vero, sunt semicirculi, quando dictae diametri sunt aequales.

Corollarium

Et hinc sumis alium modum lineandi hyperbolen, aut contrapositas. Nam postquam delineavero hyperbolen cma ex datis eius diametris ba af sic et eius contrapositam, cuius periferia transit per punctum b delineabo: habent enim contrapositae hyperbolae communes diametros: commune centrum, quod trasversam diametrum ab per medium dividit: et perinde sunt similes et aequales.