Horologii horizontalis recti, et horologii meridiani descriptio. Caput 10
Quoniam ex prima regula Sexti Capitis, horariae lineae in horizontali horologio sphaerae rectae, et in omni horologio meridiano sunt paralleli; iam in talium horologiorum descriptione praenoscenda est ipsarum linearum singularum intrcapedo. Capiantur ad libitum styli magnitudo, quae sit ab. Et circulus quadrans abc sub duabus semidiametris ab ac et periferia bc contentus constituatur. Secetur autem bc periferia in sex aequos arcus cd de ef fg gh hb et bk recta periferiam in puncto b tangens, et perinde ipsi ab perpendicularis ipsique ac aequidistans in inde[S:183]finitum producatur. Deinde a centro a per singula d e f g h puncta rectae agantur, quae concurrant cum ipsa b k apud totidem puncta. klmno eruntque intervalla describendarum linearum tam in horologio horizontali sphaerae rectae, quam in omni horologio meridiano, ipsa bk kl lm mn no. Nam reliquum est infinitum, et spacia horaria per reliquos aequatoris quadrantes his adaequantur, in planum horologii proiecta correlativa correlativis comparando. Demonstratio plana est. Posito enim abc uno ex quadrantibus aequatoris, qui ad planum horologii, de quo agimus, orthogonalis est, ita ut ab stylus ipsi plano perpendiculariter instet; iam horarii circuli per polos aequatorem per aequos horarios arcus partientes facient cum eo communes sectiones lineas ipsas ab ag af ae ad ac. Et eadem circulorum plana ulterius producta secabunt lineam bo (quae communis est sectio aequatori et plani horologii) in punctis k l m n o quae dirimunt intervalla linearum horariarum, et per eadem singula singulae puncta incedunt existentes communes sectiones circularium planorum cum horologii plano. Nam ac linea ipsi plano aequidistans non occurrit: non enim apparet in horizontis recti horizontali horologio linea horae sextae a meridiano neque in horologio meridiano linea meridiana, ut in 5o capite dictum est. Eadem quoque demonstratio servit reliquo aequatoris quadranti, ad integrandum horarum numerum: nam propter similem planorum et linearum positionem, utrobique bina intervalla aequaliter a stylo remota invicem adaequantur. Item potes, si lubet, arcus bh hg gf fe ed dc singulos per medium partiri: et per puncta divisionum a centro a rursus lineas cum linea bo concurrentes protrahere, pro usu dimidiatarum horarum. Ubi opus fiunt. Exponatur itaque in plano horologii linea recta bp quae in horologio horizontali sphaerae rectae repraesentet lineam meridianam, per doctrinam 7 Capitis descriptam: quam orthogonaliter secet linea utrinque producta bo quae ibidem erit communis sectio aequinoctialis cum plano horologii. In qua capiantur utrinque spacia ipsis bk kl lm mn no aequalia iisdemque literis insignita: punctoque b insistat ab stylus antea determinatus et factum erit horologiorum recti horizontis: nam linea qk orientalis a linea meridiana bp erit linea horae primae post meridiem, et caeterae caeterarum per ordinem. Item linea kr occidentalis a meridiana bq erit horae 23 a meridie sive primae ante meridiem, et reliquae reliquarum successive. Pro horologio autem meridiani cuiuslibet nihili omnino immutabitur nisi situs plani: et in ipso meridiani plano ita collocanda descriptio, ut linea bo communis ibi aequa[S:184]toris et meridiani sectio tantum elevetur, ut cum meridiana horizontalis plani linea angulum faciat aequalem inclinationi aequatoris super horizontem: et stylus ab ad ipsum meridiani horologii planum perpendicularis, et linearum nomen et officium mutetur. Nam in facie horologii ad ortum vergente linea bp erit sextae horae antemeridianae, linea kr quintae: linea ls quartae, et consequenter caeterae caeterarum: nam meridiana non apparet. Linea quoque qk horae septimae antemeridiana linea lt octavae et reliquae reliquarum, quousque protenditur arcus semidiurnus regionis. In facie autem ad occasum versa: idem numerus in singulis lineis; verum postmeridianus repetetur.
Meridiana itaque in horizonte obliquo posita linea xu ipsi apud u concurrat linea bo faciens angulum bux aequalem altitudini aequatoris. Unde pro loco habente verticem sub polo, horologium hoc ita locandum erit, ut horariae lineae perpendiculariter istent plano horizontis. Et Murale seu verticale horologium ibi appellandum: quandoquidem locus ille meridiano caret. Neque refert super quo horizontis diametro erigendum ibi sit verticale horologium, cum ad libitum a quovis horario seu verticali circulo exordium horarum sumi possit, et hoc idem de horizontali eiusdem loci horologio dicendum. Nunc describemus lineas horarias ab ortu vel occasu: adhibe huc ingenium perspicacissime lector. In proposito meridiani horologii plano in primis abc recta aequidistans horizonti erit linea horae 24 cum qua linea dbe faciat angulum dba aequalem inclinationi aequatoris super horizontem, hoc est graduum 52 quod est complementum propositae latitudinis. Eritque dbe communis sectio aequinoctialis cum plano meridiani horologii et perinde aequinoctialis linea dicta. Deinde recta fbc faciat angulum gbc aequalem latitudini propositae, scilicet 38 graduum. Eritque fbg perpendicularis ipsi dbe et aequidistans axi mundi, et linea horae sextae seu 18ae a meridie. Cum sit communis sectio circuli praefatae horae cum plano horologii, et per doctrinam dudum [S:185] traditam, lineabo caeteras horarias a meridie lineas ipsi fbg aequidistantes: et ad ipsam dbe perpendiculares. Item recta hbk faciat angulum hbg aequum latitudini propositae. Sic enim linea gbf secabit angulum totum hbc et oppositum abk per aequalia: eritque hbk linea horae 12ae ab ortu vel occasu communis sicut sectio circuli talis horae cum plano horologii: tamque horizon, quam circulus horae 12ae quoniam videlicet incedunt per polos meridiani (in quibus et aequator secat eosdem circulos) et aequator sunt orthogonales ad planum horologii. Unde demonstratio aperta est. Quibus peractis, pro caeteris ab ortu vel occasu lineis describendis, consyderandum est, quod linea fbg horae 6ae a meridiano cum caeteris in hos horologio sunt per primam Regulam 6 capiti aequidistantes, ut iam factum est. Et in quibus punctis secant lineam dbe aequinoctialem singulae, in iisdem eandem secant binae lineae horariae ab ortu vel occasu, per 2am Regulam dicti Capitis. Sit ergo punctum l in quo linea horae 19ae a meridiano secat aequinoctialem lineam. Per ipsum nanque punctum l incedet linea horae primae ab ortu vel occasu per secundam Regulam dicti Capitis. Item sit punctum m in quo linea horae 121/2 sive horae 1/2 a meridie secat horizontem: nam per ipsum punctum m ibit linea horae primae ab ortu vel occasu per dictam Regulam. Adhuc esto punctum n in quo linea horae 61/2 sive 181/2 a meridie secat lineam horae 12ae a meridiano illud enim n ducetur linea horae primae ab ortu vel occasu praedicta: unde oportet tria puncta m n l iacere in eadem recta, nisi erratum sit. Itaque recta mnl continuata in facie horologii erit linea horae primae ab ortu , et 23ae ab occasu. Huic aequidistans erit per 3am Regulam dicti Capitis linea horae primae ab occasu et 23ae, ab ortu, eodem tamen artificio lineanda, ex dictis Regulis. Item sit o punctum, in quo linea horae 20 a meridiano secat lineam aequinoctii: in eodem enim o puncto linea horae 2ae ab ortu vel occasu ducetur linea per 2am Regulam. Deinde sit p punctum linea horae 13ae sive primae a meridiano secat horizontem, per idem enim p signum gradietur linea horae 2ae ab ortu vel occasu per dictam Regulam. Esto demum q punctum, in quo linea horae 7ae seu 19ae a meridiano secat lineam horae 12ae ab ortu vel occasu per illud enim describetur linea horae 2ae ab ortu vel occasu praedicta: una ergo recta suscipiet tria puncta p q o secus error fuit in lineando. Quamobrem recta pqo in horologii plano, quantum satis est, producta erit linea horae 2ae ab ortu sive 22ae ab occasu. Cui parallelus erit per dictam 3am Regulam linea horae 2ae ab occasu, et 22ae ab ortu, eadem tamen arte, per tria puncta, deducenda. Puncta, inquam, in tribus lineis, aequinoctiali, horizontali, et horae 12ae per lineas horarum a meridiano computatarum aequidistantes determinata. Similiter et caeterae lineae horariae ab ortu vel occasu per tria puncta in tribus praedictis lineis per Regulas Sexti Capitis recepta delineabun[S:186]tur.
Vides ergo cancellatam linearum utriusque ordinis sectiones. Nam non solum super dictis aequatoris punctis, singulae semper lineae horariae aequidistantes, sed ubique binarum tangentium horariarum linearum sectiones incedunt, quarum lineas horae 18ae seu sextae a meridie cum linea aequinoctiali rhomborum a coalternis tangentibus factorum, diametros faciunt, et aliorum trapeziorum, sicut et caeterae aequidistantes. Potes tamen quidquid linearum cadit supra lineam horizontalem abc omittere: potes solas meridianas, aut occasuales lineas, iuxta regionis usum, admittere. Item sicut linea aequinoctialis a plano aequatoris facta, incedit per angulos [S:187] trapeziorum, ita et per angulos reliquarum trapeziorum hinc et inde ab aequatore feruntur quaedam curvae periferiae, quae hyperbolae vocantur, factae a conicis superficiebus parallelorum continentium arcus diurnos ac nocturnos perfectarum praecise horarum: et umbra styli semper per unum diem desinit in periferiam factam a conica superficie paralleli a Sole per illum diem descripti, sicut a paralleli in sphaerae superficie per cancellatas sectiones horariorum circulorum incedunt. Praeterea ex his 24 lineis horarum ab ortu et occasu exorsarum terminatricibus, undecim tangunt extremam dictarum hyperbolarum ab una parte lineae aequinoctialis, et undecim alteram extremam ab alia parte, in punctis in quibus lineae horariae aequidistantes secant easdem, sicut circuli horarii tangentes tangunt in superficie sphaerae parallelos extremos, a quorum superficiebus conicis fiunt in plano horologii duae dictae extremae hyperbolae, quae contrapositae dicuntur: et quarum axis est linea fbg centrumque b tangunt, inquam, in punctis, in quibus circuli horarii per polos secant eosdem. Nam reliquae duae lineae horariae ad complementum 24 quae sunt linea horizontalis abc et linea horae 12ae hbk sunt lineae. Non coincidens dictarum contrapositarum appellatae: quae in infinitum productae ipsarum contrapositarum periferiis semper magis ac magis approximantes nunquam concurrunt. Sed haec latius explanabuntur in secundo libello. Scio tamen haec a speculativis ingeniis dicto citius intelligi quamvis rarissimi sint, qui Apollonii conica hodie percalleant. Cum vix in celeberrimis, nedum mediocribus gymnasiis Apollonii nomen audiatur. Demum non est omittendum, quod harum linearum aequidistantium horas a meridie terminantium intercapedines, et perinde linearum occasualium spacia crescunt et decrescunt pro magnitudine assumpti styli. Unde maiorem stylum, maiora sequentur intervalla. Et locus capacior poterit horarum dimidia, aut etiam quadrantes et minora segmenta suscipere. Anguli tamen, quos lineae horariae inter se faciunt invariati permanent, non mutata loci latitudine. Sicut et horarii circuli easdem semper servant in uno loco angulos, situmque.