Descriptio linearum horariarum a meridie, in horizonte obliquo, suoque verticali. Caput 11
Nunc pro horologio horizontali et verticali horizontis obliqui laborandum est. Similis enim fere modus utrique inservit. Et preambula in primis necessaria absolvamus. Aut igitur loci [S:188] propositi latitudo minor est dimidio anguli recti, hoc est 45 gradibus: aut praecise graduum 45 aut maior. Si minor, tunc describam semicirculum abc super centro d diametroque ac et faciam angulum bac aequalem latitudini loci: in triangulo abc unde angulus bca erit eius complementum, hoc est altitudo aequinoctialis: oportebit autem facere arcum bc duplum latitudinis loci: et perinde arcum ab eius complementum ad semicirculum, duplum altitudinis aequinoctialis. Itaque cum meus horizon Messanae habeat latitudinem graduum 38 fiet arcus bc graduum 76 et arcus ab graduum 104 perpendicularis ergo a puncto b ad basim ac cadet intra puncta dc quae sit be. Deinde excitetur ipsi ac perpendiculari cf cui occurrant in rectum productae ab quidem ad punctum g atque db ad punctum f et ducatur ipsi cf perpendicularis bh. Ex hac enim descriptione sequitur omne lineationis artificium cum theoria. Intelligatur enim planum acf ita situm in meridiano loci propositi ut ac sit linea meridiana in plano horizontis, hoc est, communis sectio meridiani cum horizonte: linea autem cf sit linea meridiana in plano circuli verticalis, communis scilicet sectio Meridiani et verticalis circulorum. Quibus suppositis, erit iam recta abg axis mundi: recta bc communis sectio aequatoris et meridiani. Quare si in horizontis plano ponatur stylus be in plano autem verticalis stylus bh uterque iam suo plano perpendicularis, umbra aequinoctialis styli utriusque desinet in puctum c. Itaque per punctum c transibit aequinoctialis linea tam in horizontis quam in verticalis circuli plano, communis siquidem sectio ipsorum planorum. Nec prohibeor, si lubet, planum utrumque ultra producere ad capiendas, quantum hybernae et aestivae umbrae protenduntur, horarias lineas. Quod si nollem producere plana, tunc aestivae umbrae caderent in planum horizontalis horologii, hybernae vero in planum verticalis: et uterlibet stylorum be bh satis esset utrique horologio: quandoquidem communem verticem b habentes communem quoque umbrarum extremitatem horarum indicem sortiuntur. Porro linea dbf erit communis sectio circuli horae duodecimae ab ortu vel occasu cum meridiano: quandoquidem in hoc horizonte altitudo talis circuli habeat duplum altitudinis poli, scilicet arcum bc cum tangat parallelum maximum integre extantium in illo puncto, in quo meridianus secat eundem. Igitur in plano horizontis linea horae 12ae ab ortu vel occasu incedet per punctum d. In plano autem verticalis horizontis, talis linea ibit per punctum f secans scilicet meridianam ac et ef utrobique ad rectos angulos. Sicut ipse circulus 12ae horae secat meridianum ad rectos. Nec non et horizon et [S:189] verticalis. Et ipsa linea horae 12ae sit axis propterea meridiani, et communis sectio circuli horae 12ae horizontis et verticalis ad rectos secantium meridianum. Punctum autem a ubi axis mundi incidit horizonti, est illud, in quo lineae horarum a meridie se invicem intersecant in horologio horizontali. Punctum quoque g in quo axis incidit verticali plano, erit illud, in quo lineae horariae a meridie se vicissim secant in horologio verticali. Quod si latitudo regionis sit dimidium recti anguli, tunc in triangulo abc anguli bac bca hoc est latitudo loci et altitudo aequinoctialis erunt aequales: et triangulum abc isosceles: tanta enim est ibi latitudo, loci, quanta aequatoris altitudo. Unde semidiameter bd perpendicularis ad ac erit ibi stylus: et in horizonte linea horae 12ae praedictae ibit per punctum d pedem scilicet styli: sed in verticali plano nusquam comparebit: quandoquidem ipsum verticalis horologii planum ipsum circuli horae 12ae plano aequidistat: sicut linea bd aequidistat lineae cg. Caetera autem ut in priori figuratione consyderanda sunt. Demum si latitudo regionis excedat dimidium recti anguli, tunc quoniam altitudo aequatoris minor est latitudine loci; iam ideo angulus bac maior erit angulo bca et ob id perpendicularis be cadet intra puncta a d et recta bd continuata occurret ipsi gc deorsum productae. Caetera omnia ut in prima descriptione consyderantur. Item in hoc differunt tres descriptiones: quod in prima, stylus be excedit umbram rectam ec. Stylus vero bh superatur ab umbra versa hc in aequinoctio scilicet. In tertia vero figuratione huius contrarium fit: quandoquidem uterque stylus aequalis est umbrae a reliquo proiectae. In secunda vero figura, et styli et umbrae in aequinoctio sunt aequales, perfectum scilicet complexae quadratum. Unde et in tali horizonte, horizontale et verticale horologium eandem penitus linearum horariarum in utroque ordine suscipiet dispositionem propter eandem aequatoris et axis ad utrunque planum inclinationem. Sed redeo ad primam descriptionem factam pro latitudine minore quam graduum 45. Ponamque in rectum ipsas bc ca lineas, quae iam sunt in proportione diametrorum aut semidiametrorum horizontis et paralleli maximi integre apparentium in meo horizonte: et super punctis a b secundum quantitatem ipsarum ac cb duos circulorum quadrantes describam scilicet bkc acl sese tangentes in puncto c a quo perpendicularem ipsi ab et perinde utranque periferiam tangentem in eodem puncto excitabo cm indefinitam. Deinde secabo quadrantem periferiae minoris kc in senos arcus invicem aequales in punctis n o p q r quae puncta coniungam cum centro b actis totidem rectis productisque ad occursum [S:190] lineae cm apud puncta totidem s t u x m quae puncta connectam cum centro a periferiae maioris, deductis totidem lineis quadrantemque secantibus in punctis y z i x Z l. Erunt enim arcus cy yz zi ix xZ Zl horaria spacia in quadrante mei horizontis inter aequatorem et meridianum quolibet: eandem enim divisionem sortiuntur singuli quadrantes horizontis meridiano et aequatori interiacentes. Et angustiora intervalla sunt, quae meridiano viciniora.
Cuius operationis demonstratio haud obscura est: nam circuli horarii per polos, sicut aequatorem, ita omnem eius parallelum et ideo maximum integre apparentium in me horizonte partiuntur per aequos arcus: horizontem vero qui obliquus est ad aequatorem, per arcus inaequales. Cum igitur ac cb sint semidiametri horizontis et dicti paralleli, hoc est proportionales illis, idem dicendum est de horum acl bck quadrantum sectione, quod de dictis in sphaera circulis. Qui cum se contingant ubi secat eos meridianus, et circuli in sphaera, ut ostendit Theodosius in principio secundi, sese contingere dicuntur, quorum communis sectio est utrunque contingens. Iam in hac figuratione cm linea fungetur vice dictae communis sectionis. Semidiametri quidem praedicti paralleli, quae sunt communes sectiones circulorum horariorum cum ipso parallelo, secant (ut dixi) paralleli periferiam per aequos arcus et productae perveniunt ad dictam communem planorum circularium sectione, quae utrunque circulum in sphaera contingit, et cuius vice fungitur hic recta cm perveniunt inquam, ad puncta s t u x m ad quae puncta perveniunt etiam communes sectiones circulorum horariorum cum horizonte: quas communes sectiones hic repraesentant lineae as at au ax am et perinde ipsae secant quadrantem lc sicut in sphaera secatur horizon per dictorum circulorum plana. Quod si per recta bc assumpsissem rectam ab et descripsissem super ab quadrantem: tunc in quadrante acl habuissem intervalla linearum horariarum a meridie, in verticali mei horizontis: dum enim capio verticalem pro horizontem posito ac diameter verticalis fiet ab diameter paralleli, quem tangit ipse verticalis, et qui maximus esset integre apparentium super ipsum verticalem quasi horizontem. Cum verticalis pro horizonte sumpti, latitudo sit complementum latitudinis mei horizontis. Unde semper in duobus horizontibus, quarum unius latitudo est complementum alterius, intervalla horaria in utrolibet eorum, sunt eadem, quae in verticali alterius. Et ob id [S:191] in regione 45 graduum latitudinis, intervalla horaria horizontis eadem sunt, quae et verticalis. Item dimidiabo arcus cn no op pq qr rk in signatis punctis, et per ipsa protraham diametros circuli ck ad lineam cm et ab incidentiis, ubi signata sunt puncta, productis lineis ad centrum a. Inveniam in periferia lc spacia dimidiatarum horarum pro horizonte, et similiter, ut dictum est pro verticali: nam talia spacia erunt quandoque usui. Item illud attende, quod haec omnia per maiores circulos certius et distinctius inveniuntur. Maiora enim instrumenta maioribus spaciis certiorem sensum faciunt.
His peractis, parata est via describendi lineas horarias a meridie tam in plano horizontis, quam verticalis horologii. Et in primis describam, per 7um Caput in horizonti plano lineam meridianam ac aequalem diametro semicirculi nuper pro latitudine mei loci designati: signatis etiam punctis de sicut in semicirculo feceram. Nam punctum e locus est styli eb et punctum d per quod incedit linea horae 12ae ab ortu vel occasu: et punctum c per quod agam aequinoctialem lineam ipsi ac ad rectos, quae sit c
utrinque indefinitam. Et super centro a spacioque ac describam circulum acl aequalem videlicet circulo quadrantis acl nuper descripti: et protraham lineam al utrinque ad rectos ipsi ac quae duae circulum acl in quatuor quadrantes dirimunt. Eritque al linea horae sextae a meridie: [S:192] communis sicut sectio circuli horae sextae cum plano horizontis: et axis meridiani. Et perinde perpendicularis ad ac in meridiano iacentem. Transferam igitur huc spacia horaria dudum in quadrante acl facta, arcus scilicet cy yz zi ix xZ Zl. Et similiter eadem in collaterali quadrante: nam duo quaevis spacia aequaliter remota a meridiana linea sunt invicem aequalia, et angustiora sunt meridianae viciniora: et protraham per puncta dividentia centrumque a lineas per totum horologii horizontalis planum: ipsae nanque sunt lineae horariae propositi horizontis horarum a meridie exorsarum terminatrices: posito enim c puncto versus partes extantis poli, erectoque super puncto e stylo eb si styli umbra ceciderit super ac meridianam lineam, certum est instare meridiem. Si umbrae extremum ceciderit super ay lineam quantum opus est productam, instabit iam hora prima ante meridiem: et sic deinceps. Non aliter inventis horariis spaciis in circulo verticali, sicut docuimus, easdem horarias lineas in plano verticalis horologii describemus: sed tunc pro linea adec sumam lineam chgf quam in verticali faciam lineam meridianam, et in puncto g secabunt se lineae horariae: punctum h locus styli hb punctum c per quod incedit aequinoctialis linea: et punctum f per quod linea horae duodecimae ab ortu vel occasu. Vel possum ex factis iam in horizonte lineis horaris elicere lineas horarias verticalis, hoc modo: producam, quantum satis est, lineam ac sumamque in ea portiones lineae chgf in meo semicirculo primum factas: deinde in linea aequinoctiali c notabo puncta, in quae cadunt horariae lineae in horizontis plano dudum factae, quae puncta sint 
quae puncta connectam cum puncto g et productam in planum totum lineas: et idem faciam ex altera parte lineae aequinoctialis. Intelligam tamen lineam chgf totumque planum cg orthogonaliter erectum super horizontis planum: sic enim stabit pro verticali plano eritque communis sectio horizontis et verticalis linea ipsa aequinoctialis c et recta coniungens centra ag erit axis mundi: et styli duo eb hb communem verticem b habentes, semper in unum punctum proiicient umbram iudicem horae, sive in horizontis planum, sive in verticale desinat, sive in aequinoctialem lineam communem planorum limitem. Item axis ag semper totam umbram proiiciet in spacium instantis horae, aut super horarias utriusque plani lineas eiusdem horae limites. Nam sicut axis est communis sectio circulorum horariorum per polos mundi incedentium: ita eius axis umbra fertur per singula ipsorum circulorum plana, et perinde per factas a planis lineas communiter in horizontis et verticalis planis. Quo fit et ut, sicut singula circu[S:193]lorum plana secant utrunque horologium, ita uniuscuiusque circuli factae lineae in faciebus horologiorum continuentur ad unum aequinoctialis lineae punctum. Hoc igitur modo describentur lineae horariae a meridie in omni horizonte obliquo, atque verticali horologio. Verum pro horizonte latitudinis 45 graduum utere secanda descriptione semicirculi: erunt enim in eo lineae ac cg in horizonte et verticali invicem aequales; et perinde fient eadem utrobique horaria spacia, et par utrobique stylus. Pro loco tandem maioris latitudinis linea cg longior erit, quam ac linea: et punctum f per quod linea horae 12ae ab ortu vel occasu transire debebat, erit inferius puncto c. Caetera, ut dictum est, disponentur. Potes tamen haec duo horizontis et verticalis horologia singula per se describere, et quantumlibet producere, ut singula capiant suas seorsum lineas.