Verticalis horologii in sphaera obliqua cum utrisque lineis descriptio. Caput 13

Ex antepraemisso capite describam in plano verticalis lineam meridianam cf cum caeteris lineis horas a meridie limitatibus, seque in puncto g vicissim secantibus. Sed puncta c h g f in ea linea, per primam descriptionem in semicirculo adinventa commensurabo per figurationem dictam in praemisso capite instauratam, ne nimium spacium excedat paginae capacitatem. Punctum scilicet g in quo simul se intersecant horarum lineae a meridie. Punctum f per quod incedit linea horae 12^ae ab ortu vel occasu punctum h in quo erigendus est stylus ad verticalem faciem rectus. Punctum denique c per quod ducenda est aequinoctialis linea kcl. Cum autem hb stylus sit perpendicularis ad planum verticalis: et acumen styli b situm sit in centro communi circulorum horariorum: iam ipse stylus bh erit [S:196] portio axis circuli verticalis, et perinde communis sectio meridiani et horizontis incedentium per polos ipsius verticalis: igitur linea horae 24^ae ab ortu vel occasu quam facit horizon in plano verticalis, ibit per punctum h secans ad rectos lineam meridianam cf. Nam, cum cf sit perpendicularis ad horizontem, erit perpendicularis ad lineam dictam horae 24^ae in horizontis plano iacentem. Deinde linea gk horae 19^ae a meridie secet aequinoctialem kcl in puncto k et linea horae 61/2 a meridiano gm secet lineam horae 12^ae ab ortu vel occasu in puncto m. Nam per 2^am et 3^am regulas Sexti capituli linea ducta per haec duo puncta k m erit horae primae ab ortu vel occasu quae linea secat etiam lineam praedictam horae 24^ae horizontalem in illo puncto, in quo eandem secat linea horae 1/2 a meridie. Talia enim tria puncta in una recta linea sita sunt, nisi in describendo sit erratum. Item linea gl horae quintae a meridiano secet aequinoctialem kcl in puncto l et linea horae 171/2 sive 51/2 a meridiano secet lineam horae 12^ae ab ortu vel occasu in puncto n. Nam per sextum Caput, recta ln erit linea horae 23^ae ab ortu vel occasu quae etiam secabit lineam horizontalem, ubi secat eam linea horae 231/2 sive 111/2 a meridie, ut ex hoc certior fias. Adhuc linea gp horae 20^ae a meridiano secet aequinoctialem in puncto p et linea horae 7^ae vel 19^ae a meridiano secet lineam horae 12^ae ab ortu in puncto r. Nam per puncta p r ibit linea horae 2^ae ab ortu vel occasu quae secabit lineam horizontalem ubi secat eam linea horae primae a meridie. Denique linea gq horae 4^ae seu 16^ae a meridie secet aequinoctialem in puncto q et linea gs horae 17^ae vel 5^ae a meridiano secet lineam horae 12 ab ortu in puncto s. Nam coniuncta qs erit linea horae 22^ae ab ortu vel occasu quae secabit lineam horizontalem, ubi eam secat linea horae 23^ae seu 11^ae a meridiano unde certior eris. Et ne pluribus, quam opus sit, tecum agam, eodem processu describes caeteras 20 lineas horarum ab ortu vel occasu numeratarum. Nam in hoc horizonte nostro planum circuli verticalis secat omnes horarios circulos; et perinde omnes horariae lineae in tali plano apparent descriptae. Sicut et contingit ad omnem latitudinem, quae minor, maiorve sit dimidio anguli recti. Nam in verticali horologio latitudinis 45 graduum praecise non apparet linea horae 12^ae ab ortu vel occasu quoniam talis horologii planum aequidistans iam plano circuli horae 12^ae illud minime secat: et ideo lineam eius circuli non suscipit, ut in 5^o capite dictum est. Completis igitur lineis horariis utriusque ordinis, procreantur et hic per ambitum cancellatae linearum horariorum sectiones, sicut et circulorum plana lineas facientia se vicissim in sphaera intersecant. Item sicut unusquisque parallelorum in sphaera incedens per cancellatas circulorum sectiones describitur a Sole, dum facit arcus diurnos integratum ac praecisarum horarum; ita curva periferia a cono talis paralleli in plano verticali secante facta, suscipit per illum diem umbrarum styli desinentias. Et [S:197]

sicut in sphaera circuli horarii tangentes tangunt extremos parallelos, quod tangit horizon, in punctis in quibus eosdem secant circuli per polos horarii: ita et hic descriptae 24^or horariae lineae ab ortu vel occasu exorsae, tangunt quamdam curvam periferiam, quae ellipsis diameter, quasi ovalis, in punctis, in quibus eandem secant lineae horariae meridianae. Curvae autem periferiae per angulos trapeziorum incedentes, quae superiores sunt aequinoctiali linea, quaecunque fiunt a conis parallelorum nondum pervenientium ad verticalem circulum, sunt ellipses, quemadmodum praedicta: quae autem curva periferia fit a cono paralleli tangentis circulum verticalem, parabola existit. Caeterae autem curvae periferiae a caeterorum parallelorum conis factae tam superiores aequinoctiali linea kcl quam inferiores, erunt hyperbolae, hinc et inde semper aversis ab aequinoctiali brachiis. Igitur sicut in praesenti capite et duobus praecedentibus descripsimus pro latitudine graduum 38 minori quidem dimidio recti anguli, tam in horizontali, quam in verticali horologio lineas horarias utriusque ordinis; ita faciemus pro omni horizonte obliquo, semper utentes regulis 6^ti Capitis.

Verum in horizonte obliquo latitudinis graduum 45 horologium horizontale [S:198] et horologium verticale suscipiunt eandem penitus dispositionem, propter eandem aequatoris ad utrunque horologium inclinationem, et stylos, et umbras et omnia paria, ut in ante praemisso capite dictum est. Et in utroque horologio lineae tangentes tangunt parabolam in punctis, in quibus lineae secantes secant eandem. Et stylus figitur in puncto, in quo linea horae 12^ae ab ortu vel occasu secat meridianam, tangitque parabolam in horizontali horologio: sed in verticali stylus ponitur ubi horizontalis linea tangens parabolam secat meridianam. Caeterae autem curvae periferiae a conis parallelorum factae utrobique sunt hyperbole per angulos trapeziorum ductae. At in horizonte obliquo, cuius latitudo excedit recti dimidium anguli, sicut et in reliquis, horologii horizontalis tangentes lineae tangunt parabolen in punctis, in quibus eadem secant horariae secantes: et caeterae curvae periferiae per angulos trapeziorum a parallelorum conis proiectae, sunt hyperbolae: verum stylus cadit intra parabolen, hoc est inter lineam aequinoctialem et lineam horae 12^ae ab ortu. In verticali autem horologio talis horizontis linea meridiana cum caeteris horariis secantibus secant duas hyperbolas contrapositas, hoc modo: linearum dictarum quaedam secant superiorem hyperbolen singulae in binis punctis tantum: et quaedam in singulis punctis, eandem, et in singulis inferiorem hyperbolen: sic fiunt 24^or puncta sectionum, cum lineae sint 12^am. In quibus quidem punctis tangunt easdem contrapositas 24^or lineae tangentes horarum ab ortu et occasu terminatrices, singulae in singulis. Ex quarum numero linea horizontalis tangit superiorem hyperbolen ubi secat eandem linea meridiana: linea vero horae 12^ae tangit inferiorem hyperbolen ubi secat eandem meridiana: utraque orthogonalis ad meridianam. Curvae quoque periferiae per cancellatarum sectionum puncta deductae hinc inde ab aequatore ad hyperbolas non minus hyperbolae sunt, aversae ab aequatore, sicut extremae. Sed curvarum periferiarum speculatio et proprietates in secundo libello, ut non semel promisimus, explanabuntur. Exempla itaque adduximus in describendis horariis utriusque ordinis lineis quatuor: unum pro horologio aequinoctiali: quod quidem locis sub polo fungitur vice horizontalis: in recta vero sphaera est pro verticali. Alterum pro horizonte recto et pro meridiano quolibet. Tertium pro horizontali obliqui horizontis: postremum pro verticali nostrae regionis. Ex quibus lectoris perspicacia poterit et ad proprium horizontem, et ad quemvis alium, sive exercitii, sive delectationis gratia, horologium quodlibet cum lineis, ad usum sive speculationem accommodatis elaborare. Nec omnia oscitanti lectori sunt propinandas. Nunc quaedam circa lineas et periferias et horologiorum facies notabimus. [S:199]