De flexa dati paralleli in plano cuiuslibet horologii ad quemlibet situm delineanda. Caput 11
Cum satis notum sit ex praemissis et ex quinto capite huius libelli, aequinocialis umbrae desinentiam describere in omnis horologii plano lineam rectam: et in plano aequinoctialis horologii omnis umbrae limitem circumferri in aliqua circulari periferia: quod quidem horologium in sphaera recta verticale, sub polo autem horizontale est; in caeteris vero Solis sitibus, aliorum horologiorum omnium planis umbrarum extrema circunferri per alias conicarum sectionum periferias, sive ea sit ellipsis, [S:245] sive hyperbola: omnino dandus est modus et praeceptio tradenda, quemadmodum ad propositum Solis, loci, horologiique situm talis periferia, quae ab umbrae apice circumlato describitur, delineanda sit. Nam flexae tales, quae per cancellatas horariarum linearum sectiones incedunt et facillime super ipsa horarum lineamenta, ut in praemisso libro docuimus, describi possunt; arcubus diurnis ordinariis, non autem proposito Solis, astrive loco respondent. In primis ergo deductio aequinoctialis lineae, quae meridianam orthogonaliter secans in omni horologio suscipit aequinoctialium umbrarum desinentias, iam satis nota est ex praemisso libro. Pro horologio autem aequinoctiali intelligo in plano meridiani axem mundi paq secantem diametrum aequinoctialis hai ad rectos: kam lineam communem sectionem meridiani et horizontis, ut scilicet angulus paq sit latitudo loci. Item duos circulos aequales et aequidistantes, quorum diametri lpk man centro pq orthogonales ad planum meridiani.
Quorum quidem circulorum plana repraesentant duo horologia aequinoctialia, quorum styli qa pa communem verticem a sphaerae centrum habentes: et in quibus lineae horariae tangunt et secant dictos circulos: ut habes in secundo capite huius libelli: in his itaque horologiis umbrae extremum quotidie defertur in periferia circuli. Ponatur ergo Solis locus habens declinationem ab aequatore angulum har volo describere in planis horum horologiorum circulum, cuius periferia suscipit umbrarum desinentias ad dictum Solis situm. Continuabo ras lineam, donec diametris lk mn productis in ipso plano meridiani occurrat ad puncta r s. Superque centris pq ad spacia qr ps circulos describam: qui, ut in quinto huius libro capite ostensum est, umbras per totam Solis in eo situ positi terminabunt. Hoc est, circulus ru terminabit umbras, dum Sol declinat ab aequatore ad polum extantem per angulum ias dum vero ad diversas declinat per angulum aequalem har circulus st umbrarum tunc limites definiet. Similiter faciam ad reliquos omnes situs Solis, cum tales circuli ab umbrae vertice quotidie descripti sint concentrici. Atque si ras eundem cum aequatore hai servans angulum intelligatur perfecta revolutione circumferri, describat ipsas ru st circulorum periferias, in quibus et umbrarum qr ps extrema pariter eadem conversione circumducuntur. [S:246]
Pro horologio autem meridiano ad ortum vel occasum verso sit ab gnomon vel stylus ad planum horologii perpendicularis: bc autem linea horae sextae ante vel post meridiem de linea horae 5ae ante vel post meridiem et deinceps reliquae quatuor aequidistantes per 10um Caput praecedentis libri ad propria intervalla lineatae. Deinde linea fg, sit radius Solis aequinoctialis: linea fh radius Solis per angulum gfh declinantis ad polum extantem: linea fk radius Solis per angulum gfk declinantis ad diversas: linea lm aequalis gnomoni ab. Anguli mnl nlo et caeteri per circuli quadrantem distincti singuli quindenorum graduum. Continuatis in rectum semidiametris ad lineam usque mo ipsi ml perpendicularem. Quibus peractis, ponatur ipsi lm aequalis fp abscisa de radio fg ipsique ln aequalis fr et ducantur pq rs perpendiculares ad fg et similiter ipsi lo et caeteris a puncto l ad lineam mo ductis aequales singulae singulis de linea fg abscindantur: et a punctis abscisionum ipsi fg perpendiculares excitentur usque lineam fh. Post haec ponatur ipsi pq aequale spacium bc in linea horae sextae: ipsique rs aequale spacium de in linea horae quintae: et reliquis perpendicularibus ad fg reliqua spacia in reliquis seriatim horariis lineis singula singulis aequalia. Nam sicut in conversione motus diurni, radius aequinoctialis fg porrigit extremum umbrae styli ab in puncta b, d et reliqua in linea aequinoctiali bd signata, in quibus ea secant horariae lineae; ita radius fh proiiciet extrema umbrarum in puncta c, e et sequentia in caeteris lineis horariis praedicto modo signata: sicut exposcit triangulorum fpq, abc similitudo et aequalitas: itemque triangula frs, ade per latera aequalitas et caeterorum. Unde puncta c, e et reliqua in caeteris lineis horariis signata, erunt limites umbrarum styli, Sole in tali situ locato: et linea flexa curvatim continuata per huiusmodi puncta suscipiet terminos umbrarum eius diei: quae linea est sectio conica dicta hyperbole, per primum corollarium 4ae conclusioni Quinti Capitis praemissi. [S:247]
Similiter faciam pro radio Solis fk declinantis ad diversas: et pro quocunque alio situ Solis. Eruntque semper tales flexae hyperbolae; ut in quinto capite satis demonstratum est. Quae quidem flexae non nisi ad penicillum lineatoris per puncta dicto modo signata deduci possunt: cum neque rectae sint ut Canonis, neque circulares ut circini officio describantur: et tanto certius lineabuntur, quo crebriora fuerint puncta signata: et semper sic molliter erunt a puncto ad punctum et per totum protrahendae ut curvaturae tenorem servantes, anguli fracturam nec ubi admittant: quod etiam alias monuimus. Et notandum, quod si tam angulus gfh quam angulus gfk fuerit aequalis complemento latitudinis loci; quantum scilicet declinant singuli paralleli aequatoris, quos tangit horizon: tunc hyperbole inventa per c e puncta et reliqua in lineis horariis signata incedens, et alia hyperbole contraposita ex adversa parte lineae aequinoctiale bd essent illae, quas undecim lineae horariae aequidistantes secant singulae in binis punctis, in quibus easdem tangunt 22ae lineae horariae tangentes: nam linea horae meridianae non comparet, cum meridianus horologio aequidistans lineam non faciat.
Et duae ex tangentibus fiant hic non tangentes, atque ita, ut alibi diximus, duo puncta contactuum ac sectionum evanescant. Sicut autem hyperbole ce ducitur per signata puncta in lineis horarum inferioribus ipsa bc ita et in superioribus per eadem utique spacia, erit continuanda. Et similiter hyperbole contraposita: nam dispositio et intervalla superiorum linearum eadem sunt cum intervallis inferiorum: ut in 10o capite praecedentis libelli satis constitit. Notandum praeterea, quod horologium meridianum ad orientem vergens, converti [S:248] debet super axe mundi, donec ad aequidistantiam prioris situs restitutum vergat ad occidentem, mutato tamen horarum numero et officio, ut in 15o capite praemissi libelli tradidimus stylo quoque tantundem ad occasum prominente. Vel si conversio talis non placeat, tergum faciei orientalis conversum scilicet ad occasum sic lineandum est, ut lineae faciei occidentalis eaedem sint singulae lineis faciei orientalis, cum stylo indidem et tantundem ad occasum exporrecto.