De ellipsi paralleli cuiuspiam in horizontali seu verticali horologio describenda. Caput 12

Constitit iam per quintum Caput, quas in quocunque horologio cuiuslibet situs flexas describat quaelibet umbrae desinentia circumlata: non enim omnes flexarum species ubique describuntur per solarem radium, utpote in horizonte, cuius latitudo complementum maximae declinationis non excedit, horizontale horologium nunquam suscipit umbrarum desinentias in ellipsi: sed tantum in hyperbola, vel parabola, si latitudo sit par dicto complemento. Nobis semper in hyperbola. Verum, quoniam placet nobis, non necessitatis, sed speculationis gratia, in horologiis omnes protrahere tam horarias quam flexas lineas etiam eas, ad quas umbrarum solarium desinentiae non perveniunt: intelligemus in quovis solarium desinentiae non perveniunt: intelligemus in quovis proposito parallelo, extra anni Solisque vias, astrum quodpiam ita radiare, ut umbrae iaculatu describat diurno motu cuiuslibet trium specierum flexam. Pro ellipsi itaque delineanda, sit in horologio horizontali quopiam linea meridiana kl cum qua horariae lineae a meridie in puncto q se invicem secent, per 11^um Caput praemissi libri descriptae: ex quibus ipsa rs linea horae sextae orthogonaliter meridianam secans: et tu linea horae 5^ae et caeterae deinceps. Item linea aequinoctialis ad rectos meridianae incidens, secet ipsas horarias lineas in punctis b c d e f orientalibus: nam spacia occidentalium punctorum ad reliquas quinque lineas sunt singula his singulis aequalia. Deinde ipsam lineam kl in alium locum tranferam: et describam in plano meridiani axem mundi qap. Ita ut angulus aqi sit latitudo loci: et linea hai axem orthogonaliter secans repraesentet radium Solis aequinoctialem. Ad quam per circinum transferam spacia qi qb qc qd qe qf et qg dicto radio aequidistantem, continuatis per punctum q utrinque lineis. His peractis per punctum a quod in ipso axe mundi repraesentat centrum, ducam duos radios lam kan qui aequales hinc inde cum axe comprehendant angulos, et lineae meridianae coincidant ad puncta k l n. Sic enim tales radii con[S:249]iungunt

extrema diametrorum in parallelis aequatoris circulis. Quo neque secat neque tangit horizon: quare conica superficies talis paralleli secta plano horizontalis horologiis per 5^am Quinti capiti praemissi conclusionem, faciet ellipsim. Itaque radii tales lam kan circum axem qap per motum primum, servatis angulis revolutis, dum describunt conicas superficies, designabunt in dicti horologii plano ellipticam periferiam, cuius diameter maior kl per 2^um praeambulum Primi Capitis huius libri. Ad invenienda vero puncta, in quibus talis periferia sacat horarias lineas, sic procedo: radii lam kan utroversum producti secentes meridianum in punctis kl secent reliquas per punctum q traiectas lineas in senis hinc inde punctis: utpote lineam qg in punctis rs lineam autem qf in punctis tu et deinceps reliquas. Et faciam in prima figura linearum horariarum eadem in earundem notorum lineis spacia: hoc est, in linea qg spacia qs qr eadem: in linea qf spacia tq qu eodem ordinis situ singula singulis aequalia. [S:250] Idem faciam in linea qe qd qc qb sumens ex talibus lineis utrinque a puncto q productis in secunda figura, spacia per radios lam kan abscisa utrinque a puncto q eaque in prima figura tranferens officio circini ad horarias earundem notarum lineas eodem ordine a puncto q. Nam propter aequalitatem laterum et angulorum in triangulis: quaecunque spacia abscindunt radii lam kan per motum primum circumvoluti de lineis horariis in prima figura hinc inde a punto q periferiam ellipticam, ut decet, describentes; eadem penitus et eodem ordine iidem radii singula singulis desecant in secunda figura utrinque a puncto q de lineis per idem punctum traiectis. Sic certum erit in prima figura descriptam periferiam abscindere de linea meridiana portiones signatas qk ql de linea horae sextae spacia inter se aequalia qr qs de linea horae quintae spacia qt qu et de reliquis reliqua. Certum erit igitur ellipticam periferiam dicto modo a radiis memorati descriptam per puncta dicta k l r s t u et caetera caeterarum linearum incedere. Itaque iam, exceptis kl duodecim puncta iam signata sunt. Reliqua decem sumentur in caeteris quinque lineis horariis, bina in singulis: nam et linearum et spaciorum situs et aequalitas hinc inde a linea meridiana est eadem. Quare periferia ellipsis br aequalis et similis erit periferiae ls et totidem intervallorum aequalium puncta suscipiet. Idemque dicendum de periferiis ellipticis kr ks. Quamobrem astri in dicto parallelo constituti, hoc est, angulum declinationis ham vel nai patientis, et per motum primum circumlati umbramque per acumen a gnomonicum in planum horizontalis horologii proiicientis descripta per umbrae desinentiam periferia, erit ellipsis ktl per signata quatuor ac viginti in horariis lineis puncta. Quae fuerat describenda similiter pro caeteris astris ad aliarum declinationum radios operabimur.

Regula verticali horologio

Et eadem penitus via describemus ellipsim in verticali horologio descriptam per propositum radium: hoc solum mutato, ut angulus aqi qui iam pridem constitutus fuerat latitudo regionis, fiat nunc complementum talis latitudinis: et lineae horariae in prima figuratione fiant in plano verticalis horologii, ut convenit: namque in verticali circulo linea meridiana, quae axis est horizontis, continet cum axe mundi qap angulum aequalem complemento latitudinis loci. Et omnia quae in plano horizontalis, hic in plano verticalis horologii speculabimur et peragemus.

Regula

Et notandum, quod si anguli ham nai declinationum singuli fuerint aequales complemento latitudinis loci; tunc radii lam kan circumducentur in periferiis parallelorum, quos tangit horizon atque caeteri circuli horarii tangentes: atque ideo periferia elliptica kts in horologio [S:251] verticali descripta per tales radios erit illa, quam lineae horariae secantes secant in 24^or punctis, in quibus eam tangunt totidem horariae lineae tangentes: quod accidit locis, quorum latitudo minor est dimidio recti anguli, quemadmodum in 13^o capite praecedentis libri, in quo pro tali situ facta est universalis linearum utriusque ordinis descriptio. Postremo et hic non omittenda est illa consyderatio: sicubi horologii verticalis facies, quae ad meridiem vergens sisti solet, convertenda sit ad extantis poli partes: de qua conversione in 15^o praemissi libri et in tertio praesentis capite ad plenum locuti sumus: sic rursum habes modum lineandi horarias lineas tangentes: cum pro unaquaque habeas punctum in quo cum secante secat lineam aequinoctialem, et punctum in quo tangit ellipsim, in quo scilicet alia secans secat eandem.