De contrapositarum flexarum descriptione in horizontali, aut verticali horologio. Caput 14

Si circulus, cui planum horologii aequidistat, secet in sphaera parallelos contrapositos, tunc ipsum planum secans conicas superficies talium parallelorum, facit hyperbolas contrapositas, sicut in 4^o et 5^o capite huius libri ostensum est: quae quidem ab aequinoctiali linea hinc inde aversis disponuntur brachiis, proque diametro lineam meridianam habent. Ad signanda igitur puncta, in quibus tales flexae datorum parallelorum, ad propositi situs horologium secant horarias linea a meridie; faciam ea, quae in praemissis duobus capitibus feceram. Et primum pro horologio horizontali, describam lineam meridianam qli lineam horae 6^ae sqg quintae tqu quartae xqz tertiae kqy secundae qo primae qx et earum spacia in aequinoctiali abscisa per occursuum puncta b c d e f ut prius haec autem in prima figuratione. In secunda vero, et antea, meridianam kqi axem mundi qap angulum latitudinis loci aqi radium aequinoctialem hai in

quem officio circini transferam de prima figuratione spacia qi qb qc qd qe qf ipsique hai aequidistantem qg et protraham per punctum q rectas utrinque productas. Deinde faciam angulos saq qal aequales singulos complemento declinationis parallelorum propositorum, [S:255] quos secans horizontalis horologii planum facit hyperbolas contrapositas: et producam ultro citroque radios san lam. Quorum ipse quidam lam secet rectas per punctum q traiectas in punctis l x o y z u r at ipse san aequidistans supponatur ipsi qoc et perinde incidere quatuor lineis sub ipsa qoc scilicet ipsis qyd qze qnf qrg in punctis videlicet k x t s ad diversas partes: necnon duabus ipsa qoc superioribus scilicet ipsis qli qxb ultra aequinoctialem in punctis n. Et quoniam radii san lam circum axem qap servatis angulis, revoluti describentes conicas superficies, describuntur pariter in horologii plano hyperbolarum periferias; videndum est, in quibus punctis lineae horariae in prima figuratione secant eas periferias, eo modo et syllogismo, quibus in praecedenti et ante praemisso capite usi sumus. Transferam enim per circinum de secunda figuratione spacia ql qx qo qy qz qn qr et ex adverso spacia qs qt qx qk. Itemque ultra lineam aequinoctialem hai duo spacia qn q unumquodque videlicet spacium ad suam lineam in prima figuratione. Sic enim, cum unaquaeque linearum per punctum q traiectarum in secunda figura secet utrunque radiorum san lam excepta linea qoc quae ipsi san aequidistans secat reliquum lam tantum in puncto o; inventa et signata erunt tredecim puncta in prima figuratione, videlicet undecim citra aequinoctialem linea, quae sunt l x o y z u r s t x k et bina ultra eandem, quae sunt n. Itaque certum est propter aequalitatem angulorum et laterum in triangulis servatam, radios circum axem servatis angulis delatos ferri in prima figura per talia puncta, hoc est, radium lam per puncta l x o y z u r et radium san per puncta s t x k et ultra aequatorem per puncta n  immo utrunque radium peragrare omnia puncta, cum uterque circumferatur per utramque conicam superficiem. Quam obrem descriptarum per tales radios hinc inde ab aequatorem citerior incedet quidem per puncta l x o y z u r s t x k ulterior autem per puncta n . Verum productis aliis quinque horariis lineis per punctum q in prima figura, iam periferia ls suscipiet alia quinque puncta, ad mensuram et dispositionem eorum quinque quae iam signata sunt in periferia lr et ipsis txk punctis correlativa suscipiet periferia ultra punctum r continuata per eandem mensuram in dictis quinque horariis lineis. Similiter in contrapositas periferia supra punctum n cadet punctum ipsi correlativum. Sic signabuntur puncta duo et viginti sumpta quidem in bissenis horariis lineis in prima figura per q punctum protracti. Namque linea qoc horae 2^ae postmeridiem et eius correlativa horae 2^ae antemeridiem singulae in uno tantum puncto hyperbolae slr coincident: caeterae autem lineae horariae 10 singulae in binis: [S:256] nam linea qln meridiana: et linea horae primae qx singulae singulas hyperbolas in singulis tantum punctis per 16^am secundi Conicorum secant: sic habes sex puncta. Caeterae octo lineae horariae secant hyperbolen slr singulae in binis punctis, contrapositam vero non tangunt, per 33^am secundi Conicorum: sic habes puncta 22. Cum igitur linea horaria qoc eiusque correlativa in uno puncto tantum hyperbolam slr secet, contrapositam non tangens, iam omnino aequidistare convincitur uni non tangentium in ipsis contrapositis, per conversam 13^ae Secundi Conicorum: secus enim aut secaret ipsam slr hyperbolen in binis punctis, aut per 16^am praedicti, secaret hanc et contrapositam in singulis punctis, quorum neutrum supponitur. Sed delineata hyperbola slr iam et contraposita n omnino ei similis et aequalis facile lineabitur. Quando autem in secunda figuratione radiorum san lam neuter aequidistat alicui linearum per q punctum transmissarum: tunc puncta sectionum sunt 24^or cum enim tunc singuli duo radii singulas transmissas in singulis punctis secent, fiunt puncta 14. Quare in prima figuratione in totidem punctis lineae horariae septem coincident hyperbolis, hoc est, singulae in binis: et quinque reliquae singulae similiter in binis, sic fiunt alia 10 puncta et universa 24^or. Sed iam licebit hanc totam speculationem de horizontali horologio tranferre ad verticale, pro regione latitudinis recti dimidium excedentis: in quo quidem horariae lineae secantes contrapositas hyperbolas in 24^or punctis, in quibus easdem tangunt totidem horariae lineae tangentes: sicut iam docuimus et ostendimus in 4^o capite huius libelli. Sic et alius constabit modus lineas tales tangentes in dicto verticali horologio designare. Nam in unaquaque linea tangente praeter punctum, in quo ipsa cum aliqua secantium, secat aequinoctialem lineam, habes et punctum, in quo tangit hyperbolen, in quo videlicet alia de numero secantium secat eandem.

Sed pro verticali angulus aqi qui fuit et horizontali latitudo loci, fiant complementum latitudinis: et in prima figura lineae horariae fiant per suam regulam in plano verticalis horologii. [S:257]

Scholium

Dum radius san aequidistat lineae qoc in hyperbolen slr cadunt sectionum puncta 11 in contraposita 2 sicut in figura ad exemplum sumpta patet. Nam dictus radius non potest aequidistare lineae qli sic enim sectio esset parabola. Si autem aequidistaret lineae qxb sic in hyperbolen slr caderent puncta 12 in contraposita unum. Si vero aequidistaret lineae qyd tunc in hyperbolen slr caderent puncta 10 in contraposita 3. Quod si aequidistaret lineae qze tunc in hyperbolen slr caderent puncta 9 in contraposita 4. Si demum aequidistaret lineae quf tunc in hyperbolen slr caderent puncta 8 in contraposita 5. Nam sqr non potest aequidistare: sic enim aequidistaret aequatori: omnis vero radius, de quo hic agitur, secat aequatorem. Quod si dictus san radius nulli talium linearum aequidistaret; tunc omnino faceret in dictis septem lineis totidem puncta sectionum: secaret enim eas omnes, sicut secat radius lam unde puncta tunc sectionum: essent 14 quibus si apponas 10 pro quinque lineis horariis, quae in descriptione omittuntur, fiunt 24^or. Et tunc radii non aequidistant non tangentibus contrapositorum, nec pereunt duo puncta sectionum.

Notandum quod in figuratione huius Capitis et duorum praecedentium, stylus sive gnomo horologii semper est linea perpendicularis a puncto a ad lineam meridianam qli ipsumque horologium planum.

[S:258]

Scholium

Grandissime Lector, cum caeteris et hoc velim attendas, quod in huiusmodi lineamentis, si serventur anguli et spacia iuxta praecepti traditionem, interdum alicubi linearum atque angulorum angustia vix cupit literarum notas: et coincidentiae linearum non cedunt intra paginae limites: sic descriptio relinquitur mutilata. Hic vero dum repetens huius et praecedentis Capitis lineamenta, permitto mihi latiora spacia et incidentias omnes complecti conor intra margines, neglexi mensuras praecepti. Tamen demonstratio et praxis melius intelligitur hic, ubi nihil in lineamento desideratur. Idem saepe accidit in conici Apollonii: difficile adeo est tantae profunditatis speculationibus descriptionem oportunam accommodare. Hinc exemplarium mathematicae disciplinae tanta incorrectio et intelligendi tanta difficultas. Nihil enim est quod magis absterreat lectorem, quam exemplar mendosum. Quod si his accesserit scriptoris ignorantia, aut interpretis negligentia, iam nihil integri sperandum est. [S:259]