De flexis lineis in singulis horologiis per singulos locorum Solisque situs, umbrarum desinentias suscipientibus. Caput 5

Dicendum nunc de lineis umbrarum desinentias suscipientibus, hoc est, descriptis ab ipsa umbrae extremitate in horologii cuiusvis plano, per singulos locorum Solisque situs. Namque solaris radius ductus per acumen styli, eiusque umbram terminans ac describens in ipso aequinoctii die planam aequinoctialis superficiem, describit in omnis horologii plano rectam lineam: cum per 3.11 planorum, communis sectio sit recta linea. In caeteris autem diebus, describens, ut diximus, conicas superficies, parallelorum aequalium a Solis centro et a puncto diametraliter opposito descriptorum, delineat in horologii plano flexam lineam, quam ipsum planum conicas superficies secando procreat. Quemadmodum in 2^o praeambulo Primi Capitis huius libelli tradidimus. Sed hic distinguendae sunt factarum sic in horologiorum planis linearum ad quemvis loci, Solisque situm, species: agemus autem per conclusiones et corollaria. Sitque prima conclusionum.

Prima <Conclusio>

In omni horologio, Sole aequatorem possidente, umbrarum termini per totum diem in una recta linea terminantur: quae aequinoctialis linea vocatur, et meridianam ad rectos secat angulos. Talis enim linea est communis sectio aequatoris cum horologii plano, et ob id recta.

Secunda Conclusio

Horologium aequinoctiale in circulari periferia suscipit umbrarum terminos: hoc est, ad singulas Solis positiones singulis accommodatis circulis. Talis enim horologium, cum aequidistet aequatoris plano, aequidistabit omnium parallelorum basibus et perinde secans conicas eorum superficies, faciet, per 2^um Primi Capitis praeambulum, et per 4^am [S:228] Primi Conicorum, circulos, quorum periferiae umbrarum desinentias per conica latera delatas suscipient.

Corollarium

Unde manifestum est, quod in horologio verticali horizontis recti, et in horologio horizontali cuius zenit est mundi polus quotidianarum umbrarum termini, semper in aliquam circuli periferiam terminantur: ita ut Sole ad aequatorem magis accedente maior periferia terminet umbras: minima vero in solstitio. Suntque tales circuli concentrici: quandoquidem commune centrum in axe mundi ipsoque styli sive gnomonis pede sortiuntur.

Tertia Conclusio

Si parallelus, in quo Sol circumfertur tangat circulum, cuius plano horologium aequidistat, umbrarum limites suscipientur in periferia conicae sectionis, quae parabola vocatur: namque huiusmodi horologii planum secans conum dicti paralleli sectionem facit, cuius diameter, quae linea meridiana est, communis videlicet sectio eius cum meridiano, aequidistat lateri conico praefati contactus: et ideo, per 11^am primi Conicorum, et 2^um preambulum Primi Capitis huius, facta sectio, quam umbrarum desinentias excipit, parabola est.

Corollarium

Unde manifestum est, quod in horologio horizontali regionis, cuius latitudo suscipit complementum maximae declinationis solaris, dum Sol in tropico extante, qui tangit ibi horizontem, posito, umbrarum fines in periferia paraboles deferuntur.

Corollarium

Item in regione maioris latitudinis id ipsum accidit Sole illum parallelum possidente, qui tangit ibi superne horizontem.

Corollarium

Item talis est periferia umbras terminat in horologio verticali, ubi circulus verticalis contingit aliquem parallelum solarem: quod accidit habitantibus intra tropicos.

Quarta Conclusio

Dum Sol fertur in parallelo secante circulum cui aequidistat planum horologii: tunc umbrarum desinentias cadent in periferiam quamdam sectionis conicae, quam vocant hyperbolem. Nam talis horologii planum secans conum dicti paralleli sectionem facit, cuius diameter, quae linea meridiana est, coincidit lateri conico supra verticem, secatque contrapositum conum faciens contrapositam sectionem: quare per 12^am et 14^am primi Conicorum et secundum praeambulum, factae sectiones, quae umbras a Sole in talibus parallelis eiaculatas excipiunt, hyperbolae contrapositae sunt.

Corollarium

Unde manifestum est, id fieri semper in horologio horizontis recti, et in quovis horologio meridiano.

Item in horologiis horizontalibus horizontum secantium omnes Solis parallelos, in quibus videlicet latitudo minor est complemento maximae solaris declinationis.

Item in horologiis verticalibus, ubi verticalis circulus secat omnes per zodiacum parallelos: ubi scilicet latitudo excedit maximam declinationem. Nam in aliis latitudinibus id quandoque non semper accidit.

Quinta Conclusio

Quod, si Sol feratur in parallelo neque tangente, neque secante circulum, cui aequidistat planum horologii: tunc umbrarum desinentiae circumferentur in periferia perfecti ambitus, sectionis videlicet conicae, quam ellipsim appellant. Nam huiusce horologii planum ita conicam talis paralleli superficiem circumquaque abscindit, ut, [S:229] per 13^am Primi Conicorum: et dictum praeambulum, conicam sectionem faciat, quae ellipsis appellatur.

Corollarium

Unde manifestum erit hoc quandoque accidere in horologiis horizontalibus latitudinis maioris complemento maximae declinationis solaris: quando videlicet Sol ibi fertur in parallelis horizonte sublimioribus.

Item in horologiis verticalibus latitudinibus dicta maxima declinatione minoris: quando scilicet Sol illic describit parallelos, quos verticalis neque secat, neque tangit.

Corollarium

Quamobrem in talibus horologiis dictorum situum continget umbrarum limites in triplicem cadere periferiam: nam Sole possidente cum parallelum, qui tangit circulum horologio aequidistantem, per postrema tertiae conclusionis corollaria, parabola: Sole autem horizonte eum parallelum, qui secat circulum horologio aequidistantem, per postremum corollarium 4^ae conclusionis, hyperbola: Solae denique eum parallelum tenente, qui nec tangit, nec secat circulum horologio aequidistantem, ellipsis, per preaecedens immediate corollarium, excipiet proiectarum umbrarum desinentias.

Sexta Conclusio

Quod silubet has horologiorum proprietates in regione tua immotus experiri, fabrica tibi horologium ad aequidistantia alieni horizontis seu verticalis, cuius incidentias experiri velis: nam quidquid accidere in praemissis conclusionibus diximus in tali horizonte seu verticali horologio, iam et in tuo ad eius aequidistantiam fabricato accidet. Sed fabricandi modum in penultimo praecedentis libelli capite exposuimus.