De lineis utcunque, seu ad datam rationem secandis, aut inveniendis, deque periferiae divisione deque chordis, ac sinibus. Caput 6

Iam flexam aliquam ad Solis locum seu astri cuiuspiam pertinentem, hoc est, quae ab ipsius astri radio per acumen styli porrecto in cuiusvis horologii plano, primique motus conversione delato describitur, in tali plano deducere volentibus: itemque ad dati arcus diurni parallelum, latitudinem ortus, ac declinationem, Solisque locum debitum assignaturis, necessaria est declinationum, ascensionum differentiarum ascensionalium, ac latitudinum ortivarum notitia: quos quidem arcus ne per calculum seu tabulas aut alienum instrumentum mendicare cogamur, docebimus quo pacto solum lineando ac circinando, illos consequamur. Sed prius regulas quasdam negocio necessarias praemittemus.

Regula Prima

Si datam quamvis lineam ab velim in quotcunque, utpote, quinque partes aequales dividere: tunc per eius extrema ab ducam in diversum duas ei perpendiculares seu inter se aequidistantes et indefinitas ac bd per regulas 7 Capitis libri praemissi: [S:230]

de quibus singulis assumam per circinum quatuor, una scilicet minus proposito partium numero, continuas portiones hinc inde ae ef fg gc nec non dl lk kh hb. Et coniungam puncta divisionum per totidem lineas, ita ut parallelogramma faciant: sintque iam coniunctae ed fl gk ch quae secabunt lineam ab in totidem punctis m n p q. Sic enim ipsa ab in ipsis punctis in quinque partes aequales, iuxta propositum dividitur, per 12^am Sexti Elementorum Euclidis.

Regula Secunda

Si inter duas datas rectas ab bc velim comperire mediam proportionalem; describam super totam ac semicirculum adc et a puncto b excitabo per 7^um Caput praedictum, lineam bd perpendicularem ipsi ac et periferiae apud d incidentem, quae per octavam Sexti Euclidis media perpendicularis est inter ipsas ab bc sicut volebam.

Regula Tertia

Quod si inter lineas ab ac libeat mediam proportionalem invenire; super ac maiorem lineabo semicirculum, atque ut in praemissa bd perpendiculari excitata, coniungam ad quae erit media proportionalis inter ipsas ab ac propter octavam sexti praedictam.

Regula Quarta

Item, si opus sit ipsis ac cd datis tertiam proportionalem subiungere, quarum ac maior describam super ac maiorem ex eis, ut prius, semicirculum adc. Et intra semicirculum coaptabo per circinum ipsam cd. Et a puncto d ducam db diametro perpendicularem eritque, per octavam memoratam bc tertia proportionalis ipsis ac cd sicut volui.

Regula Quinta

Datae sint tres lineae ab bc bd si oporteat quartam invenire, ad quam bd sit sicut ab ad bc coniungam ac. Et producam bc cui apud e occurrat linea de ipsi ac aequidistans: eritque, propter similitudinem triangulorum, sicut ab ad bc sic bd ad be. Itaque be erit linea quaesita.

Regula Sexta

Quod si oporteat lineam be secare secundum proportionem ipsius ad sectae in puncto a tunc coniungam de ipsique aequidistantem ducam ac quae secet ipsam be in puncto c. Eritque ob causam dictam, sicut ba ad ad sic iam bc ad ce.

Regula Septima

Vel si linearum aequidistantium ac de altera divisa, libeat reliquam similiter dividere; coniungam earum extrema ductis da ec ad punctum b concur[S:231]rentibus (concurrent enim, si ac de sunt inaequales) et punctum concursus b iungam cum puncto lineae divisae, ducta bg quae continuata secabit reliquam in puncto f ita ut sicut est ag ad gc sic sit df ad fe. Quod ex similitudine triangulorum per secundum sexti constat.

Regula Octava

Sit praeterea in quadrante circuli abc linea de alteri semidiametrorum utpote ipsi ac aequidistans: sitque ac utcunque secta in puncto f si velim ipsam de similiter secare: tunc coniungam ad ponamque per circinum ipsi af aequalem ag de ipsa ad abscissam: et a puncto g ducam per 7 praemissi Capitis ipsi de perpendicularem gh.

Sic enim gh secabit in puncto h ipsam de ad proportionem ipsius ad per secundam sexti, et ideo ipsius ac. Erit enim, sicut ag ad gd hoc est, sicut af ad fc sic eh ad hd sicut facere volui.

Regula Nona

Contra vero, proponatur de secta in puncto h si velim similiter secare ac coniuncta tunc prius ad excitabo a puncto h ipsi de perpendicularem, quae secet ipsam ad in puncto g. Et per circinum faciam ipsi ag aequalem ipsam af. Sic enim eodem syllogismo fiet sicut eh ad hd sic iam af ad fc quod faciendum fuit. Sed haec et alia huiusmodi notiora sunt, quam canibus (ut aiunt) Delia nostris. Quare ad reliqua properemus.

Et quoniam circuli periferiam non temere in 360 partes secari solere: sicut quadrantem in 90 signum physicum, in 60 commune in 30 secari, quos gradus appellant: gradumque in 60 minutias et minutiam in totidem secundas: itaque deinceps, omnibus vel mediocriter eruditis est novissimum; transibo ad chordas atque sinus.

Cum enim chorda sit recta linea iungens extremitates arcus: iam sinus alicuius arcus erit dimidium chordae duplo ipsius arcus debitae. Quare, sicut chorda maxima est circuli diameter; ita et maximus sinus erit circuli semidiameter. Item sinus complementi arcus cuiuspiam ad quadrantem, vocari solet sinus secundus talis arcus. Huius autem ad semidiametrum completio, sinus versus, et quasi sagitta sinus primi, quae arcum chordamque per aequalia partitur. Itaque ad captandum sinum arcus propositi, arcumve dati sinus, duplex in promptu via: de lineamentis geometricis, non de calculo hic loquor. Exponam circuli quadrantem, sub duabus semidiametris ab ae et quarta periferiae totius parte bdc contentum item producam ca ipsique aequale continuabo ae rectam, super quam lineabo [S:232] semicirculum afe.

Regulae sinuum

Regula Prima

Quibus peractis, si lubear arcus dati sinum invenire, utpote arcus bd sinum primum et secundum; tunc ducam a puncto d duas perpendiculares ad semidiametros quadrantis, quae sint dg dh eritque dg quidem sinus rectus arcus bd dati: at dh sinus secundus eiusdem, aequalis quidem ipsi ag quare bg sinus versus eidem arcui bd debitus vocabitur: quae adeo aperta sunt, ut demonstratione non egeant.

Regula Secunda

Eadem autem elicere potero ex semicirculo sic. Si velim ortui ak simili db sinum debitum assignare, continuabo in semicirculo afe ipsi ak aequalem arcum kf et ducam chordam af quam esse dico sinum ipsius arcus bd. Item coniungam fe chordam, quae similiter sinus erit secundus arcus bd. Item abscindam de diametro ea ipsi ef aequalem em nam ma residuum erit sinus versus eiusdem arcus bd. Quod sic ostenditur. In circulo bdc chorda dupli arcus bd dupla est ad sinum dg et dupla itidem ad chordam af arcus akf quoniam scilicet arcus sunt similes, et diameter diametri dupla. Igitur chorda af aequalis sinui dg. Sed anguli ad g et f sunt recti. Igitur per penultimam Primi Elementorum, cum ae ad sint aequales: erit et fe aequalis ipsi ag vel dh sinui secundo, scilicet arcus dicti bd. Unde per conceptionem, supererit ma aequalis ipsi bg sinui verso arcus eiusdem bd. Sic quos habuimus sinus in circulo maiore bdc habemus et in minore afe per chordas. Item, quoniam triangulum afe est aequilaterum et aequiangulum triangulo dga et triangulo ahd iam pridem aequalis erit angulus dah angulo fae. Sed angulus fae cum angulo fac per 13^am Primi Elementorum faciunt duos rectos: ergo et angulus dah cum angulo fac complet duos rectos: quare per 14 eiusdem daf est una recta linea. Et propterea dato arcui bd sinum debitum quae siturus possem continuare rectam da donec occurrat periferiae circuli minoris ad punctum f et inde connectere fe ipsique aequalem em abscindere: sic enim, ut prius, haberem chordam af pro sinu recto arcus bd chordamque fe pro sinu eiusdem arcus secundo: et ma sinum eius versum.

Regula Tertia

Contra, si iubear, dato sinui ah exquirere arcum debitum: tunc a puncto h excitabo ipsi ac ad rectos hd donec occurrat periferiae in puncto d eritque bd arcus, quem quaerimus. Aut si eundem arcum per sinum secundum ag seu sinum versum bg quaerere iubrrer: tunc a puncto g excitarem ipsi ab perpendicularem gd periferiae in signo d occurrentem. Et haberem similiter arcum bd tali sinui debitum.

Regula Quarta

Quod si haec eadem ex circulo minore velim elicere: tunc sinum datum ah coaptabo in semicirculo afc hoc est, per circinum ipsi ah aequalem in dicto semicirculo chordam immittam af nam assumpti arcus akf dimidium, hoc est, arcus ak erit, quem volumus similis quidem ipsi arcui bd. Si autem eundem arcum nancisci velim per sinum eius secundum ag tunc rursum collocabo in semicirculo ipsi ag aequalem chordam cf. Nam relicta [S:233] periferia akf dimidiata in puncto k exhibet arcum ak ipsi bd quaesito similem. Denique per sinum versum bg arcum talem venaturus: abscindam de diametro ea lineam am ipsi bg sinui verso dato aequalem: relinquetur enim em ipsi ag sinui secundo aequalis: cui aequalem inducam semicirculo chordam ef et relictae akf dimidium, arcus scilicet ak notescet ipsi bd quaesito similis. Quod si quispiam secans quadrantem bdc in 90 gradus, sicuti fieri solet, partiatur et semicirculum afe in totidem partes, ut unaquaeque binos complectatur arcus; iam sic in arcu akf apparebunt tot partes, quot gradus sunt in arcu bd et arcus akf quamvis non dimidiatus offeret tibi numerum graduum arcus bd quaesiti.