De tangentibus atque secantibus conicas sectiones. Caput 4

<I>

Omnis recta linea tangens conicam sectionem apud extremum diametri, ordinata est ad talem diametrum. Et omnis linea ad extremum diametri ordinate applicata apud dictum extremum tangit sectionem, haec est 17^a Primi Conicorum.

II

Omnis linea tangenti sectionem lineae aequidistans per punctum intra sectionem, utrique coincidit sectioni 18^a primi.

III

Omnis linea tangens parabolen, aut hyperbolen, coincidet diametro 24^a primi.

IIII

Omnis linea tangens ellipsim intra duas diametros, coincidet utrique diametro 25^a primi diametros intellige coniugatas. Quod si tangat in extremo unius diametrorum, aequidistans erit reliquae diametro, quia ordinata ad illam diametrum.

V

Omnis linea aequidistans diametro paraboles, aut hyperboles, in uno tantum puncto coincidet sectioni 26 Primi.

VI

Omnis linea secans diametrum parabolae, utrinque coincidet sectioni 27^a primi. [S:274]

VII

Omnis linea ducta per centrum contrapositarum, ad utranlibet periferiam, secat utranque sectionem: quia communis diameter 29^a primi.

VIII

Omnis linea aequidistans alteri non tangentium in contrapositis, coincidit uni contrapositarum ad unum solum punctum 13^a secundi. Quod si linea neutri non tangentium aequidistet, aut coincidet contrapositis singulis in singulis tantum punctis, per 16^am secundi: aut coincidet utrinque uni contrapositarum, reliquam non attingens, per 33^am eiusdem.

IX

Et in parabola, sicut est quadratum ordinatae ad quadratum sub recepta ex diametro ad verticem contentum; sic est recta ipsa ad receptam praedictam. Quod quidem ex 20^a Primi Conicorum sequitur facillime.

X

In hyperbole, aut ellipsi, et circulo, sicut est quadratum ordinatae ad rectangulum sub receptis ab ordinata ad extremitates diametri contentum; sic est transversa diameter ad rectam: unde et quadrata ordinatarum sunt talibus rectangulis proportionalia. Quod quidem demonstratur in 21^a praedicti.

Nunc praemittemus duo lemmata demonstrationibus circa sectionum contactus ponendis necessaria.

Primum lemma

Quorum primum est hoc: puncto intra lineas coincidentes signato, possibile est per punctum ipsum ita lineam ducere in occursum coincidentium, ut in puncto tali per aequalia secetur. Ut si, exempli gratia, ab cd lineae coincidant in puncto e interque ipsas punctum signatum sit f dico, quod possibile est per punctum f agere lineam, utputa bfc ita ut bf sit aequalis ipsi fc. Coniungam enim fe et continuabo feg cui aequidistantem ducam dh ipsis cd ab occurrentem apud puncta d h. Mox secabo per aequalia ipsam dh in puncto k. Et coniungam ek cui aequidistantem per punctum f ducam lineam bfc occurrentem ipsis ab cd in punctis b c. Dico enim, quod bc tunc per medium secabitur in puncto f.

Agantur enim per puncta b c ipsi fg aequidistantes blm cn ipsis ek ed apud puncta l m n occurrentes. Eruntque in parallelogrammo bcnl ipsae bl cn aequales: cumque bl sit aequalis ipsi lm quandoquidem hk aequalis fuit kd erit et lm aequalis ipsi cn unde triangula ecn eml invicem erunt aequilatera, quia aequiangula. Quare ipsae ne el invicem aequales: verum in parallelogrammo nef ipsae ne cf aequales invicem: et in parallelogrammo elb ipsae el fb aequales. Igitur ipsae cf fb invicem aequales: quod fuit demonstrandum.

Secundum lemma

Alterum lemma erit hoc. Omnis ordinata in sectione conica est vel circuli, vel ellipsis cuiuspiam diameter. Quod ut apertius intelligatur, esto conus hkt cuius basis circulus hgt vertex k triangulum per axem hkt circuli diameter, basisque trianguli recta ht cui perpendicularis sit gd ordinata quidem alicuius se[S:275]ctionis conicae, utputa paraboles, hyperboles, aut ellipseos, cuius transversa diameter ad in ipso trianguli plano.

Quod enim ordinata sit gd patet per 7^am Primi Conicorum: ipsa enim et omnis eius parallelus in sectione per medium secatur a transversa diametro ad. Dico igitur, quod gd ordinata erit diameter aut alicuius circuli, aut factae in cono ellipsis. Hoc est, quod possibile est producere planum per gd quod secando conum faciat sive circulum sive ellipsim, cuius ipsa gd sit diameter. Nam, si d sit centrum circuli hgt constat iam conclusio. Tunc enim gd per centrum incedens, est in diametro. Si autem d non sit centrum; tunc per praemissum lemma possibile erit per punctum d agere lineam, quae ipsis kh kt coincidens per medium secetur in ipso d puncto. Agatur: sitque pdq invicem aequalibus. Et producatur planum, existentibus pd dq in quo pq gd secans conum. Nam sic facta sectio, si conus hkt sit scalenus, et triangulum pkq subcontrarium triangulo tkh circulus erit, cuius diameter pq gd per 5^am Primi Conicorum. Secus vero facta sectio erit ellipsis per 13^am primi, cuius diametri rursum pq gd centrumque d. Omnino igitur gd diameter erit, aut circuli aut ellipseos in cono factae. Quod erat demonstrandum.

Quibus praemissis, quod demonstraturi eramus, demonstrabimus.

XI

Si a puncto quopiam in diametro extra parabolen ducta periferiam tangat; et a puncto tactus ordinata ducatur ad diametrum: tunc receptae a vertice sectionis ex diametro ad punctum exterum et ad ordinatam, sunt aequales. Quod sic demonstratur. Sit in cono quopiam triangulum per axem hkt in quo diameter transversa parabolae sit da ordinata dg quae, per immediate praemissum lemma, erit pro diametro alicuius circuli vel ellipseos: qui circulus sive ellipsis sit hgt cuius periferiam in puncto g tangat recta linea gx quae per primam harum conclusionum, ordinata erit ad diametrum dg et perinde aequidistans diametro ht. Ducatur et in plano trianguli hkt per verticem k ipsi ht aequidistans linea ke coincidensque diametro da apud e. Sic enim fiet, ut ipsae ke gx sint aequidistantes et in plano positae, quod conicam superficiem tangit apud latus kg. Sola enim kg recta communis erit conicae [S:276] superficiei, planoque praedicto, in quo ke hx. Quo fit, ut recta linea in eodem plano connectens puncta e g et ulterius producta tangat in solo puncto g conicam superficiem, et in eodem ipso puncto paraboles ag periferiam tangat in eius plano iacens. Aequalis autem cum sit hd ipsi dt et ipsae hk da aequidistantes: iam aequales erunt ka at cumque ipsae ke dt aequidistent; erunt et da ae invicem aequales, receptae scilicet a vertice sectionis a ad terminum tangentis e et ad ordinatam dg. Sicut fuerat demonstrandum. Et haec propositio est 35^a Primi Conicorum.

XII

Quod si receptae ex diametro parabolae a vertice ad punctum. Quodpiam et ad ordinatam fuerint aequales; tunc recta, quae a puncto ad extremum ordinatae ducitur, in ipso extremo tangit periferiam. Haec est conversa praecedentis conclusionis, quae facile ostenditur ab impossibili: et est 33^am Primi Conicorum.

XIII

Si a puncto quopiam in diametro extra circulum, ellipsim, vel hyperbolen linea ducta periferiam tangat, et a puncto tactus ordinata ducatur ad diametrum, tunc receptae ab extremitatibus diametri ad ordinatam, erunt proportionales receptis ab eisdem extremitatibus ad punctum praedictum. Repeto eandem descriptionem, et idem per axim triangulum hkt. Et ordinata in circulo, ellipsi, vel hyperbole sit dg quae per 2^um praecedentium lemmatum, ponatur diameter sive circuli, sive ellipseos hgt cuius periferiam in puncto g tangat recta linea gx et ideo aequidistans diametro ht et in plano trianguli utrique aequidistans ke coincidensque diametro sectionis propositae apud e.

Sic enim, ut prius, planum, in quo sunt ke gx tanget conum superlatus kg et recta linea eg tanget sectionem apud g punctum. Verum in ellipsi et circulo transversa ad coincidat reliquo lateri trianguli apud b in hyperbole vero, eidem lateri supra verticem producto: eritque ab diameter sectionis transversa, in quo centrum z. Quibus actis et intellectis demonstrandum erit, quod sicut est bd ad da sic erit bc ad ea. Hoc pacto. Ducatur per punctum a ipsi hk aequidistans linea mal ipsi quidem ht apud punctum m ipsique ke apud l punctum coincidens: sic enim, propter aequidistantiam linearum hb am triangula dbh dam erunt invicem aequiangula, et proportionalium laterum: hoc est, sicut bd ad da sic iam hd ad dm hoc est, sic td ad dm. Sed propter aequidistantiam linearum ke [S:277] dt triangula ake atd, sunt similia et proportionalia laterum: itemque triangula ael adm similia et proportionalium laterum. Unde fiet, sicut td ad dm sic ke ad el. Verum adhuc, propter aequidistantiam linearum kb al triangula bke ale similia et proportionalium laterum. Igitur ke ad el sicut be ad ea. Quare, sicut be ad ea sic fiet bd ad da quod fuit demonstrandum. Et haec est propositio 36^a Primi Conicorum et similiter ostendi potest 37^a Tertii Conicorum v^a linea eadb non diameter, sed secans circulum, ellipsim, hyperbolen, ac etiam parabolen ponitur.

XIIII

Contra vero, si in circulo, ellipsi, aut hyperbola, receptae ab extremitatibus diametri ad ordinatam fuerint proportionales receptis ab eisdem extremitatibus ad punctum quodpiam diameter extra sectionem: tunc linea ducta a puncto tali ad extremum ordinatae in periferia in tali extremo tanget periferiam. Haec est conversa praemissae, et ab impossibili facile ostenditur: hoc est, destructis contrariis. Atque in conicis est 34^a primi. In omnibus autem his 4^or conclusionibus processit Apollonius indirecte: nos autem in duabus tam. Et demonstratio nostra facilior est: quamquam ille plana descriptione utatur: qua in re Apollonius caeteros ingenio antecellit. Et notandum, quod pro demonstratione circuli, necesse est ut conus hkt sit scalenus et triangulum akb sub contrarium triangulo hkt. Sic enim, per 5^am Primi Conicorum, sectio agb super qua disseritur, circulus erit. Et tunc basis hgt ellipsis erit. Ecce 4^or conclusiones aliter, quam Apollonius, quod pulchrum fuit, ostendimus. XV. Item notandum quod in circulo, ellipsi, et hyperbola, lineae dz zb ze sunt continue proportionales: hoc est portio inter ordinatum et centrum: semidiameter transversa: et quae a centro ad tangentem, ex diametro receptae et est 37^a Primi Conicorum.