De coniugatis diametris flexarum, deque tangentibus flexas lineis ducendis. Caput 5

<Regula Prima>

Iam ex diffinitione coniugatarum diametrorum constat parabolen coniugatas non habere diametros verum aequidistantes, ut in primo capite ostensum est. Circuli vero coniugatae diametri semper se invicem ad rectos dispescunt angulos: secus enim utraque alterius parallelos per medium signulas secare non potest. Quod est proprium coniugatarum diametrorum. Superest ergo de coniugatis ellipseos, aut contrapositarum diametris describendis regulas tradere.

Regula Secunda

Esto itaque ellipsis abc in qua data sit diametros ad. Volo in tali ellipsi describere diametrum coniugatum ipsi ad. Secabo per aequalia ipsam ad in puncto e eritque z centrum sectionis. Ducam ipsi ad aequidistantem bc eamque in puncto f per medium dividam. Et per puncta e f ducam recta gfzh. [S:278]

Diameter igitur erit gh quoniam transit per z centrum sectionis: et coniugata ipsi diametro ad quoniam eius aequidistantem bc per medium, et perinde reliquas secabit, modo recte formata sit. Et si data diametros fuerit axis sectionis: axis erit et coniugata: et factae tunc sectiones ad angulos rectos. Sicut autem diameter gh secat diametrum ad eiusque parallelos singulas per medium: ita et ad diametrum ipsam gh diametrum eiusque aequidistantes per aequalia partitur, sicut in 15^am Primi Conicorum ostenditur.

Regula Tertia

Sit deinde hyperbole ab cuius diametro ad centrum z. Volo ipsi ad diametro coniugatam diametrum ducere. Ducam primo ipsi ad diametro aequidistantem bc quae per 5^am Conclusionem praemissi capiti coincidet singulis contrapositis hyperbolis ad singula puncta. Coincidat ipsi quidem ab hyperbolae ad punctum b contrapositae autem cd ad punctum c. Deinde secabo ipsam bc per aequalia in puncto f et ducam ef quae erit coniugata diameter ipsi ad diametro: quandoquidem secat eam, eiusque parallelum bc per medium in punctis e f sicut in 16^a Primi Conicorum ostenditur. Et si ad axis fuerit sectionum: et ef axis erit secundus, et sectiones linearum fient ad angulos rectos. Et sicut ef secat ipsam ad eiusque parallelos per aequalia: ita et ad ipsam ef eiusque parallelos intra sectionum periferias per medium partitur. Nunc veniam ad tangentes.

Regula Quarta

Proponatur sectio conica ag et in eius periferia punctum a. Volo lineam rectam ducere, quae sectionem ag tangat in puncto a. Ducam per punctum a diametrum sectionis, quae sit ad. Et per praemissas regulas ipsi ad coniugatam diametrum gh secantes se in z puncto, pro ellipsi et hyperbola: pro parabola vero gh metrum ad. Deinde per punctum a ducam ipsi gh aequidistantem ak. Igitur ak ordinata erit ad diametrum ad et ideo per primam conclusionem praecedentis, tanget sectionem in puncto a quod erat faciendum.

Regula Quinta

Sed quandoquidem in parabola non datur regula describendi ordinatam ad datam diametrum, quod in aliis sectionibus fit per coniugatas diametros: utemur alio modo. Sit parabola ag cuius diameter ad. Volo lineam ducere, quae in puncto g tangat parabolam. Ponatur primum ad axis, et ducatur ipsi ad rectos linea gd quae erit ordinata ad axem. Producatur ultra verticem axis, ponaturque ipsi da aequalis ae et [S:279] ducatur recta eg quae per 12^am conclusionem praemissi, tanget in puncto g parabolam, quod fuit faciendum.

Regula Sexta

Proponatur et parabole ag cuius diameter quaelibet ead. Volo per punctum aliquod periferiae utpote g ducere ordinatam ad diametrum ad. Per praemissam regulam, ducam lineam ax quae tangat sectionem in ipso a extremo diametro. Deinde per datum punctum g ducam ipsi ax tangenti aequidistantem dg quae per prima conclusionem praemissi, erit ordinata ad diametrum ad.

Regula Septima

Si igitur per datum punctum g tangentem in parabola describere iubear: ducam diametrum quamlibet ead et per punctum g ordinatam ad talem diametrum ex praemissa regula; quae sit gd deinde faciam ipsi da aequalem ae. Nam, ut antea per axem, eg tanget sectionem in puncto g data per 12^am conclusionem dictam.

Regula Octava

Detur et extra parabolen ag punctum quodpiam e. Volo a puncto e lineam ducere, quae parabolen ag tangat. Agam per punctum e diametrum aequidistantem scilicet axi. Quae diameter sit ead et ponam ipsi ea aequalem ad et per punctum d ducam ordinatam ad diametrum ad quae sit dg per antepraemissam regulam. Nam sic recta eg tanget sectionem in puncto g per 2^am conclusionem quod erat faciendum.

Regula Nona

Sit praeterea conica sectio ag ellipsis vel hyperbole: eius diameter ad volo per punctum g ducere ordinatam ad diameter ad. Ducam per 2^am vel 3^am regulam praemissam, ipsi ad diameter coniugatam diametrum ef. Deinde per punctum g datum ducam ipsi ef aequidistantem gd quae erit, per 15^am vel 16^am Primi Conicorum, ordinata ad ipsam ad diametrum.

Regula Decima

Esto ellipsis agb et extra ipsam datum punctum e. Volo a puncto e ducere lineam, quae tangat ellipsim agb. Ducam per e punctum, perque z ellipsis centrum lineam, quae secet ellipsim in punctis a b diameter igitur erit sectionis ab. Dein faciam sicut be ad ea sic bd ad da et per punctum d ducam, per praecedentem regulam, lineam dg ordinatam ad diametrum ab. Nam sic, linea eg tanget periferiam in puncto g per ultimam conclusionem praecedentis Capitis.

Regula Undecima

Similiter faciam pro hyperbole, modo punctum e datum sit inter centrum sectionis et periferiam. Secus enim per punctum e non posset duci linea tangens sectionem. Et per consequens problema esset impossibile. Cum enim sit sicut bd ad da sic iam be ad ea et semper maior sit bd quam da oportet, ut et be maior sit, quam ea. Et haec sint satis circa tangentes. [S:280]