De non tangentibus contrapositarum. Caput 6

Quoniam Apollonius omnia fere Conicorum demonstrata conatus est in planum redigere, antiquioribus ingeniosior, neglecta conorum descriptione, et aliunde quaerens argumenta cogitur persaepe obscurius et indirecte demonstrare id, quod contemplando solidae figurae sectionem, apertius et brevius demonstratur. Id nos fecimus in 4^or postremis praecedentis Capitis conclusionibus: idem nunc de non tangentibus contrapositarum locuturi faciemus. Sunt enim non tangentes, duae rectae lineae se invicem in centro contrapositarum hyperbolarum secantes et utrinque semper magis ac magis in infinitum periferiis approximantes, nunquam vero coincidentes. Et od id non tangentes, sive non coincidentes appellatae: de quibus Apollonius in 2^o Conicorum locutus est. Nos igitur huiusmodi linearum proprietates demonstraturi hoc praefabimur, duas hyperbolas in duobus rectis conis factas ac similibus triangulis per vertices conorum ductis aequidistantes similes esse, ut in 6^o Conicorum libro ostensum est. Unde omni propositae hyperbole similis ac etiam similis et aequalis collocari potest in aliquo recto cono, ut ibidem traditur. Ostendemus igitur hic lineas non tangentes incedere per centrum contrapositarum, et complecti angulum aequalem angulo verticali trianguli, cui planum hyperboles aequidistat. Esto igitur conus basis circulus abc vertex f. In quo hyperbole rls propositae similis et aequalis: cuius diameter transversa klmno. Ita ut ln sit diameter communis ipsius rls et suae contrapositae inter earum vertices ln. Quarum plano aequidistet triangulum cfb cuius basis bi ad rectos secat ac diametrum basis conicae basimque trianguli afc per axim, in puncto e.

Unde rectae dir dbs tangentes circulum apud bi puncta concurrent ad idem punctum cum ca producta, quod punctum sit d et perinde tam planum ipsum, in quo sunt dbs bf lineae, quam planum, in quo sunt dir if lineae tanget conum. Et tales contactus fient super latera conica bf if et communis sectio tangentium planorum, quae linea recta est, ibit per verticem f conicum eat, sitque dfm occurrens diametro ln contrapositarum apud m punctum. Cui diametro aequidistans agatur ahg conicae superficiei, contrapositae occurrens in puncto g et ipsam df secans in puncto h. Eruntque lineae dir dbs tangentes basim conicam apud ib puncta communes sectiones planorum tangentium cum ipso basis plano. Sint demum tangentium eorundem planorum [S:281] cum plano hyperbolarum communes sectiones per m punctum euntes et utrinque continuatae lineae rm ms.

Quo fiet, ut puncta r s in quibus dictae lineae coincidunt lineis basim conicum tangentibus: et puncta p q in quibus hyperboles periferia occurrit periferiae basis conici: necnon punctum k in quo basis hyperboles sive ordinata pq secat diametrum ac haec inquam quinque puncta sint in una recta rpkqs quae communis sectio est plani facientis hyperbolas cum basi conico. Hoc idem intellige per reliqua hyperbola contraposita. Ostendendum igitur est quod linea df continuata secat per aequalia diametrum ln contrapositarum in puncto m quodque mr ms lineae sunt non tangentes contrapositarum: ipsumque m centrum est sectionum.

Lemma

Sed prius hoc lemma ostendendum est. Duae lineae sint ab uno puncto c delapsae cd cg et ab earum terminis aliae ad ipsas mutuo reflectantur df ga se invicem in puncto h secantes. Dico, quod ratio cd ad da componitur ex rationibus cf ad fg et gh ad ha. Ducatur enim ipsi df aequidistans at. Eritque, sicut cd ad da sic cf ad ft. Itemque sicut gh ad ha sic gf ad ft. Sed ratio ef ad ft componitur ex rationibus cf ad fg et fg ad ft. Igitur et ratio cd ad da componetur ex rationibus cf ad fg et gh ad ha quod est propositum. Sed per conclusionem 13^am antepraemissi Capitis sicut cd ad da sic ce ad ea et propter aequidistantiam linearum ag ef sic est et cf ad fg.

Igitur ratio ce ad ea componetur ex rationibus ce ad ea et gh ad ha. Quare necesse est, ut gh ha sint aequales: cumque ag aequidistet ipsi ln. Erit et lm aequalis ipsi mn. Quare m punctum erit centrum sectionum contrapositarum. Superest nunc ostendere, quod rectae mr ms sunt non tangentes dictarum sectionum: complexae scilicet angulum aequalem angulo fb. Nam, per 16^am 11 Euclidis lineae if fb sunt aequidistantes lineae rm ms *** aequidistantiam planorum: et ideo per 10^am eiusdem, angulus ifb aequalis est angulo rms et singuli per lineas km ef per medium secantur. Ducam ergo ipsi rs aequidistantem et ipsi bi lineam lu quae per primam conclusionem ante praemissi Capitis tanget sectionem plq in puncto l. Eritque triangulum mlu aequiangulum triangulo feb. Igitur, sicut fe ad eb sic ml ad lu. Sit ergo ipsius lu dupla lx. Eritque nl ad lx sicut ml ad lu et sicut fe ad eb. [S:282] Subiungatur ipsis nl lx tertia in proportione continua ly sive longior, sive brevior: eritque sicut quadratum quadratum fe ad quadrato eb sic nl ad ly. Quare per 12^am Primi Conicorum ly erit recta diameter hyperboles rls. Et lx poterit rectangulum nly speciem scilicet sectionis. Et ideo lu 1/2 ipsius lx poterit quadrantem ipsius speciei. Unde per primam Secundi Conicorum mus est non tangens sectionis, et similiter ostendetur mr ex alia parte esse reliqua non tangens. Quando autem recta bi diameter est circuli abc tunc lineae tangentes circulum in punctis b i sunt aequidistantes ad invicem, et ipsi hfm communi sectioni planorum conos tangentium per 19^am 11 Euclidis et tunc ipsae fe nk ga lineae sunt perpendiculares ad ac et utrunque triangulorum gfa nfl isosceles. Et eorum bases nl ga per medium et orthogonaliter secabuntur in punctis m h. Constabit ergo; ut prius, quidquid fuerat proprium. Et in hoc casu demonstratio faciet ad id, quod de horologio meridiano in 3^o capite praecedentis libri fuit ostensum: in quo lineae horariae duae, scilicet horizontalis, et horae 12^ae sunt non tangentes contrapositarum sectionum, quas in horologii plano tangunt reliquae 22^ae horariae lineae. Demonstratio autem casus anterioris, ubi lineae tangentes circulum concurrunt in puncto d facit ad illud, quod de horologio circuli verticalis in regione, cuius latitudo excedit dimidium anguli recti: fuerat in 4^o praecedentis libri capite ostensum: in quo interdum duae lineae horariae sunt non tangentes hyperbolarum, quas in tali horologio tangunt reliquae lineae 22 verum in his duobus locis praecedentis libri, usi fuimus indirecta demonstratione, assumptis praeambulis 3^o et 4^o Primi Capitis eiusdem libri, ut quae promptior erat, atque lineamentis dudum hic peractis non indigens.

Demonstratio alia indirecta

Sed ipsam indirectam demonstrationem hic repetam, quo apertior fiat. Dico enim rursus ipsam rm ms lineas esse non tangentes sectionis ipsius et contrapositae ipsumque m punctum centrum earum. Nam si rm ms non sunt sectionum plq et contrapositae non tangentes. Tunc non tangentes aut ibunt per punctum m aut per aliud: si per m punctum, tunc aut facent cum diametro ln maiores angulos, aut minores, quam cum eadem diametro faciunt lineae rm ms. Si maiores; tunc ipsae rm ms secabunt angulos non tangentium et nusquam coincident sectioni: quod est impossibile per 2^am 2ⁱ Conicorum. Si minores; tunc non tangentes coincident sectioni: quandoquidem omnis linea per punctum m secans angulum rms coincidit sectioni, quandoquidem aequidistans ipsi rm vel ms hoc est ipsi if vel fb lateri contactus, coincidit conicae superficiei, et perinde sectioni, per 3^um praeambulum Primi Capitis praecedentis libri: quod est absurdum. Si autem non tangentes ibunt per aliud quam punctum m tunc aut ipsae continebunt cum diametro ln angulos maiores, quam cum eadem diametro faciant lineae rm ms aut non maiores. [S:283] Si maiores, tunc ipsis rm ms aequidistantes et aliae infinitae secantes angulum non tangentium non coincident sectionibus plq et contrapositae: quod est impossibile per secundam Secundi Conicorum. Si non maiores; tunc ipsae non tangentes protractae secabunt ipsas rm ms atque coincident sectionibus, quandoquidem aequidistans uni dictarum coincidit per dictum praeambulum, sectionum alteri: quod est absurdum. Non igitur aliae, quam ipsae rm ms erunt non tangentes contrapositarum plqno. Et perinde neque aliud, quam ipsum m punctum erit dictarum sectionum centrum. Quod erat demonstrandum. Quod enim ipsae rm ms semper magis atque magis approximant superficiei conicae, et perinde periferiae sectionis, et nusquam etiam in infinitum continuatae coincidunt, patet per 4^um praeambulum Primi Capitis in praemisso libro. Rursum ergo via indirecta idem demonstravimus. Notandum, quod si conus afc supponatur scalenus: et linea bi diameter circuli abc tunc lineae tangentes in punctis b i sunt aequidistantes invicem et ipsi hfm communi sectioni planorum tangentium. Verum tunc lineae fe nk ga non sunt perpendiculares, ad ipsam ac. At quoniam tunc ac per aequalia secatur in puncto e et ipsa ef aequidistat ipsi ag atque similiter hf ipsi ac. Iam ideo per primum lemma Quarti Capitis praemissi, et ipsa ag per aequalia secabitur in puncto h et ln in puncto m sicut prius in cono recto. Sed pro horologiis considerantur coni tantum recti.