Sereni cylindricorum libelli duo

3 ott. 2002

• 1  Presentazione dell'opera
• 2  Tradizione e novità
• 3  Contestualizzazione dell'opera
• 4  Fortuna
• 5  Testimoni
• 6  Criteri di edizione
• 7  Fonti

1  Presentazione dell'opera

L'opera, intitolata Sereni cylindricorum libelli duo, è costituita di due libri dedicati allo studio della sezione del cilindro e, in particolare, alla dimostrazione del fatto che tale sezione non è diversa da quella, detta ellisse, che si può ottenere nel cono. Il primo si apre con quattordici definizioni non numerate ed è suddiviso in trentaquattro proposizioni accompagnate da ventisette figure geometriche. Prima della proposizione 29 troviamo altre quattro definizioni, anche in questo caso non numerate. Il secondo libro, più breve, non contiene che sette proposizioni con altrettante figure. Le proposizioni di entrambi i libri sono numerate dallo stesso Maurolico.

Le quattordici definizioni iniziali introducono i concetti base della teoria, quali quello di cilindro e di supeficie cilindrica, di diametro e di secondo diametro di una sezione, nonché la definizione di sezioni simili e simili ed uguali. Le seconde definizioni sono dedicate alla presentazione del cilindrico ellittico.

Le proposizioni del primo libro possono essere suddivise in cinque gruppi, in ognuno dei quali viene sviluppato un particolare aspetto dello studio della sezione cilindrica: nel primo gruppo (propp. 1-7) vengono analizzati i casi ``degeneri'' in cui il piano secante contiene l'asse del cilindro; nel secondo gruppo (8-16) i casi studiati sono quelli che realizzano come sezione un cerchio. Le due dimostrazioni si trovano però solo nella proposizione 13, per il caso del piano parallelo alle basi, e nella proposizione 16 per la sezione subcontraria che contiene due diverse dimostrazioni. Appare importante un'aggiunta alla proposizione 13, in cui si puntualizza che le sezioni che si ottengono tagliando un cilindro con piani tra loro paralleli sono simili: questo servirà per definire il cilindro ellittico. Nel terzo gruppo (propp. 17-23) Maurolico si sofferma a dimostrare proprietà che gli serviranno per stabilire la similitudine tra l'ellisse conica e quella cilindrica. Questa parte si collega direttamente con le prime proposizioni del secondo libro, quelle in cui si stabilisce un criterio di similitudine e di uguaglianza tra l'ellisse cilindrica e quella conica usando proprio i risultati ottenuti in questa parte. Nel quarto gruppo (propp. 24-28) l'autore si sofferma sullo studio delle ellissi ottenute tagliando un cilindro. In questi teoremi Maurolico mette in evidenza i rapporti tra il primo e il secondo diametro di una sezione e confronta la lunghezza di due ellissi ottenute nello stesso cilindro. L'ultimo gruppo (propp. 29-34) è dedicato allo studio della sezione di cilindro ellittico. Le proposizioni sono precedute da quattro definizioni che introducono il concetto di cilindro ellittico ottenuto tagliando un cilindro retto con due piani paralleli, ma non paralleli al parallelogramma per l'asse. Le proposizioni 29 e 30 rienunciano risultati dimostrati nelle prime due parti per il cilindro a base circolare, rimandando per le dimostrazioni ai casi precedenti.

Delle sette proposizioni che compongono il secondo libro quattro sono problemi. Le prime due proposizioni stabiliscono un criterio di similitudine e di uguaglianza tra le due sezioni: quella conica e quella cilindrica. Le proposizioni che seguono sono tutti problemi, tranne la sesta che è un lemma per la settima, il primo dei quali chiede di tagliare un cilindro con un piano in modo tale che si ottenga un'ellisse simile o simile ed uguale ad un'ellisse conica data. La proposizione successiva è il viceversa, cioè è data un'ellisse cilindrica e si chiede di tagliare un cono in un'ellisse simile a quella cilindrica. Queste due proposizioni sono importanti perché assicurano che si può ritrovare in un cilindro un'ellisse simile ed uguale ad un'ellisse conica. Anche le proposizioni 5 e 7 sono di questo tipo: si chiede, dato un cono (cilindro) tagliato in un'ellisse, di costruire un cilindro (cono) con la stessa base e la stessa altezza in modo che, tagliato dallo stesso piano secante il cono (cilindro), si abbia come sezione un'ellisse simile a quella trovata nel cono (cilindro).

Il trattato termina con uno scholium conclusivo in cui Maurolico spiega, in parte, la diversa impostazione del suo lavoro rispetto a quello di Sereno.

2  Tradizione e novità

L'opera di Sereno si colloca nell'ambito della tradizione apolloniana, dalla quale prende spunto e all'interno della quale acquista significato. Poiché lo scopo dell'opera è quello di dimostrare che la sezione ``trasversa'' individuata nel cilindro è un'ellisse, diventa indispensabile per l'autore fare riferimento ad una teoria sulle sezioni coniche. Così, nel corso della dimostrazione Maurolico fa riferimento a teoremi sulla sezione del cono citando non le Coniche di Apollonio, mai citato nel corso del trattatello, ma ad un testo di Elementa conica indicato senza alcun riferimento all'autore. Lo studio dei riferimenti a questo testo presenti nei Sereni cylindricorum libelli ci hanno permesso di stabilire l'esistenza di studi mauroliciani sulle coniche antecedenti al 1534, data di stesura del trattato sui cilindri, e di delinearne alcune caratteristiche, fornendoci informazioni parziali, ma preziose, per comprendere quali studi Maurolico avesse svolto sulle coniche.

Analizzando i riferimenti agli Elementa conicorum possiamo notare con evidenza che il testo cui Maurolico si riferisce non è identificabile né con le Coniche di Apollonio, né con alcun opera medievale sulle coniche. L'ipotesi più credibile è che si tratti di un lavoro giovanile di Maurolico, un testo o comunque una raccolta di scritti che non ci sono pervenuti¹.

I Sereni cylindricorum libelli duo propongono la ricostruzione mauroliciana di un trattato del matematico Sereno di Antinoe² (IV sec.) portato in Occidente solo nel 1427 dall'umanista Francesco Filelfo.

In generale il rifacimento mauroliciano si distacca notevolmente dall'opera originaria, non solo per alcune differenze nelle singole dimostrazioni, ma anche per la struttura stessa dell'opera. Sereno studia la sezione del cilindro con lo scopo, dichiarato fin dal principio, di stabilirne l'identità con l'ellisse ottenuta nel cono; questo è il motivo guida del suo lavoro. Maurolico, invece, si sofferma a studiare tutti i tipi di sezione che incontra, compresa quella più semplice ottenuta con un piano passante per l'asse o parallelo a questo. Così, il trattato realizzato da Maurolico ha una struttura più complessa di quello di Sereno perché è volto a dare una trattazione esauriente sulla sezione del cilindro.

Tra gli elementi di novità che la trattazione mauroliciana presenta, due ci sembrano particolarmente significativi, perché stanno alla base delle principali differenze che il trattato maurolicano presenta rispetto alla versione di Sereno: da una parte la presenza di una definizione di diametro (def. 9) diversa da quella data da Apollonio ed adottata da Sereno, dall'altra la centralità della similitudine tra sezioni (deff. 13-14) assunta nella dimostrazione mauroliciana.

Mentre Sereno riporta la definizione apolloniana di diametro di una curva piana, Maurolico chiama diametro l'intersezione del piano della sezione con il piano principale per l'asse. In questo modo la definizione di diametro proposta da Maurolico individua quello che nei testi Apollonio e Sereno, nonché nella terminologia moderna, è un asse della sezione.

Ancora più importante per capire la novità del trattato mauroliciano è l'utilizzo di una teoria sulle sezioni simili e simili ed uguali. Nel trattato mauroliciano, infatti, ciò che porta ad identificare l'ellisse cilindrica e quella conica non è il fatto che entrambe godono di certe proprietà, come nella dimostrazione di Sereno, ma piuttosto il fatto che in un cono e in un cilindro si possano trovare due ellissi simili o simili ed uguali. La dimostrazione principale del trattato si rivela così indipendente da quella originaria di Sereno cosicché nell'ambito del nuovo procedimento dimostrativo hanno un ruolo centrale alcune proposizioni inserite da Maurolico ed assenti nel trattato di Sereno. Si tratta dei teoremi 17-23 del primo libro che si collegano direttamente con le prime due proposizioni del secondo libro, quelle in cui Maurolico stabilisce un criterio di similitudine tra l'ellisse cilindrica e quella conica.

Vorremmo sottolineare l'importanza che assumono i problemi del secondo libro nell'impostazione mauroliciana: come l'autore stesso sottolinea nei corollari alle proposizioni 3 e 4 possiamo affermare che l'ellisse conica e quella cilindrica sono uguali perché una stessa ellisse può essere ottenuta sia in un cono che in un cilindro³.

Le sole informazioni che possediamo circa le possibili fonti alla base dei Sereni cylindricorum libelli, lungi dall'essere illuminanti, ci sono fornite dallo stesso Maurolico che, in una lettera del 1556 al vicerè di Sicilia Juan de Vega, afferma di avere ricostruito l'opera di Sereno a partire da elementi sparsim collecta⁴.

La prima opera edita che contenga estratti del trattato di Sereno è il De expetendis et fugiendis rebus opus di Giorgio Valla (Venezia 1501), mentre per una traduzione completa sarà necessario aspettare quella di Federico Commandino del 1566⁵.

Il nostro studio ha mostrato che una delle fonti cui Maurolico attinse fu senz'altro l'opera di Valla. Non possiamo escludere che Maurolico possa aver avuto a disposizione altri testi, ed eventualmente un manoscritto greco, ma non ci sono evidenze in questo senso; gli elementi che abbiamo raccolto, al contrario, sembrerebbero escludere questa eventualità.

Proprio per il carattere enciclopedico del suo lavoro, Valla non riporta per intero tutte le opere di cui tratta, ma spesso ne seleziona parti che giudica più importanti o che comunque gli risultano più comprensibili. Per quanto riguarda il trattato di Sereno, il De cylindrica sectione, Valla ne riporta un estratto significativo nel quarto capitolo della sezione dedicata alla geometria, senza citare l'autore, il quale permette di seguire la linea dimostrativa del trattato⁶. L'opera di Valla non contiene la trattazione completa sui cilindri presentata nel lavoro di Sereno, ma fornisce senz'altro elementi utili per capire il significato ed il fine principale di questo lavoro e, in questo senso, la frase scritta da Maurolico nella lettera a Juan de Vega potrebbe effettivamente riferirsi al De expetendis et fugiendis rebus opus.

La tesi circa il rapporto tra i Sereni cylindricorum libelli duo e il capitolo dell'opera di Valla che abbiamo illustrato, si fonda sul confronto tra i frammenti riportati dal De expetendis e il trattato di Maurolico, che ha messo in evidenza forti somiglianze tra i due testi, inspiegabili se non ammettendo una conoscenza da parte di Maurolico della traduzione di Valla.

Consideriamo le definizioni presenti all'inizio del primo libro e facciamo un confronto tra quelle date da Valla e quelle presentate da Maurolico: il legame tra le due liste di definizioni appare chiaro anche ad una lettura superficiale dei testi. Non si tratta solo di una semplice somiglianza tra i costrutti, ma si può notare, talvolta, una perfetta coincidenza di termini che non lascia dubbi circa la dipendenza di Maurolico da Valla. Nella tabella 2 che segue riportiamo un confronto tra alcune definizioni presenti sia nel rifacimento maurolicano che nell'estratto del De expetendis.

Definizioni	Valla	Maurolico
Def. 1 Cylindrica superficies	Si duorum circulorum aequalium et parallelorum diametri usque quaque paralleli existentes circumactae in circulorum planis circa permanens centrum, ac circumducentes rectam lineam ipsarum extrema in eadem partem connectentem in idem rursus revolvantur, descripta a circumacta linea superficies cylindrica superficies apellatur, quae certe in infinitum augeri potest recta linea ipsam describente in infinitum ducta.	Si duorum circulorum aequalium et parallelorum semidiametri usque quaque paralleli existentes circumactae in circulorum planis circa permanens centrum ac circumducentes rectam lineam ipsarum extrema in eadem partem connectentem in idem rursus revolvantur, descripta a circumacta linea superficies cylindrica superficies apellatur, quae certe in infinitum augeri potest, recta linea ipsam describente in infinitum ducta.
Def. 2 Cylindrus	Cylindrus autem est figura comprehensa ex circulorum parallelis et inter ipsas assumpta cylindrica superficie.	Cylindrus autem est figura solida comprehensa sub circulis et cylindrica superficie.
Def. 4 Axis	Axis est recta linea acta per ipsorum centra	Axis est recta linea acta per ipsorum centra
Def. 5 Latus cylindricus	Latus cylindri linea est quae cum sit recta sitque in cylindri superficie utrique basi annectitur quam fatemur quoque circumactam cylindricam superficiem describere.	Latus cylindri est recta in cylindrica superficie inter basium periferis, quaecircumacta cylindricam superficiem describit.

La prima definizione, quella di superficie cilindrica, ad esempio, è del tutto identica: i due autori usano esattamente gli stessi termini, fatta eccezione per la sostituzione della parola diametro con semidiametro da parte di Maurolico.

Tutte le definizioni che Valla riporta si ritrovano, più o meno modificate, in Maurolico e non presentano differenze sostanziali da un punto di vista concettuale da quelle che si leggono nella traduzione di Commandino⁷. Le definizioni omesse da Valla hanno una sorte diversa: alcune sono fondamentali per lo sviluppo della teoria, come quella di diametro, e Maurolico non può non inserirle; altre, come quella di vertice di una sezione, non sono indispensabili ed in Maurolico mancano. È interessante notare come nel caso di definizioni inserite da Maurolico, ma assenti in Valla, la corrispondenza concettuale con Sereno non ci sia più.

Importanti informazioni circa l'utilizzazione di Valla da parte di Maurolico sono fornite anche dallo studio delle proposizioni. Come abbiamo precedentemente osservato, Valla nella sua opera non riporta tutte le proposizioni presenti nell'opera di Sereno. Abbiamo verificato che quasi tutte le proposizioni omesse da Valla sono assenti anche in Maurolico; quelle che, pur mancando nel capitolo del De expetendis, troviamo in Maurolico, sono inserite in un contesto completamente diverso rispetto a quello dell'opera originaria di Sereno. Alcune proposizioni vengono eliminate da Maurolico ma è l'autore stesso che alla fine del trattato ne spiega i motivi affermando:

Attendendum quod, per corollarium quartae huius, omni ellipsi cylindricae inveniatur similis nec non similis et aequalis ellipsis conica: quidquid in Conicis elementis demonstratum est de Conica ellipsi, idem item cylindrica ellipsi concludi potest non ergo fuit necessarium hic universas ellipsis proprietates ostendere cum in conicis ostensae sunt.

In questo frammento Maurolico spiega, in parte, i motivi per cui ha deciso di allontanarsi dall'opera di Sereno nella quale erano dimostrate per l'ellisse cilindrica proprietà già note per quella conica, per poter concludere l'identità delle due sezioni. D'altra parte, Maurolico inserisce molte nuove proposizioni sia rispetto all'estratto di Valla sia all'originale testo di Sereno, come risulta chiaro dalla tabella. In effetti, solo dieci proposizioni del trattato mauroliciano fanno effettivamente parte del lavoro di Sereno, cosa che conferma l'estrema libertà del nostro matematico nel cambiare l'impostazione dell'opera che sta ricostruendo, qualora lo ritenga opportuno.

Si fuerint binae rectae lineae se invicem contingentes ad binas rectas lineas se pariter Duae rectae ab bc duabus rectis de ef Sint igitur binae rectae lineae sese invicem Connectantur enim ad be cf eruntque per Connectantur be cf ad quoniam ab ipsi de aequalis ac

3  Contestualizzazione dell'opera

Il trattato mauroliciano sui cilindri, datato 16 agosto 1534, si inserisce nell'ambito degli studi giovanili di Maurolico, in particolare in un periodo in cui le conoscenze matematiche dell'autore andavano via via approfondendosi. Tra la fine degli anni Venti e l'inizio degli anni Trenta, infatti, egli lavorò alla realizzazione di un proprio progetto di ricostruzione del sapere matematico, enunciato per la prima volta nel 1528, all'interno della prefazione ai Grammaticorum Rudimentorum libelli sex. In tale progetto, tuttavia, l'opera di Sereno non era citata: evidentemente solo successivamente Maurolico conobbe, attraverso l'opera di Valla, il trattato sulla sezione cilindrica. In effetti, il progetto di ricostruzione delle matematiche, che guiderà l'opera di Maurolico nel corso dell'intera vita, subirà continue evoluzioni, in concomitanza con il progredire delle conoscenze e delle convizioni dell'autore.

Intorno alla metà degli anni '30 può ritenersi conclusa una prima fase della produzione mauroliciana: risalgono, infatti, a questo periodo, oltre ai Sereni cylindricorum libelli duo, anche i rifacimenti di alcuni trattati di Archimede, Autolico e Teodosio.

4  Fortuna

Come molte delle opere mauroliciane, anche i Sereni cylindricorum libelli duo non furono pubblicati durante la vita dell'autore. Essi, infatti, ci sono pervenuti nella sola versione manoscritta e sono stati pubblicati solo recentemente⁸. Per questo motivo la circolazione dei risultati in essi contenuti fu probabilmente del tutto limitata.

Maurolico cita il suo lavoro nella già ricordata lettera a Juan de Vega del 1556 ed inserisce il trattato nei suoi Indices lucubrationum già a partire dalla presentazione del '36 nella lettera al Cardinale Pietro Bembo cui sarà dedicata la Cosmographia. In questa lettera, in effetti, Maurolico si limita a nominare Sereno tra i nomi dei grandi matematici a torto scarsamente noti⁹. Solo nella lettera di dedica della Cosmographia, datata 1540, egli citerà esplicitamente i Sereni cylindrica.

5  Testimoni

ms: Paris, Bibliothèque Nationale, Lat. 7465 (siglum A9)

6  Criteri di edizione

Il trattato mauroliciano sui cilindri è contenuto all'interno di un manoscritto, interamente autografo, contenente quattro scritti tutti datati 1534: le carte 1r-20r contengono, infatti, i Sereni cylindricorum libelli; le carte 20v-21r, bianche, sono seguite da un trattatello archimedeo, Archimedis de circuli dimensione; nelle le carte 29r-29v troviamo un altro testo sulla quadratura, Hippocratis tetragonismus, seguito nelle carte 29v-31r da uno scritto sullo stesso argomento, il Maurolycii tetragonismus. Gli ultimi tre lavori sono datati 19 agosto 1534. Le carte 31v-32r sono bianche¹⁰.

Il lavoro presenta numerose correzioni, aggiunte e note marginali; la numerazione delle proposizioni è più volte rivista e corretta ed approda ad una sistemazione finale in cui i teoremi non si presentano in ordine progressivo, soprattutto nella parte centrale del primo libro. Il contenuto delle singole carte è riportato nella tabella 6, con le eventuali aggiunte, correzioni o cancellature successive.

no carta	Contenuto
1r	Titolo dell'opera e varie raffigurazioni.
1v	Solo un'aggiunta con richiamo per l'inserimento alla fine della carta 2r.
2r	Titolo SERENI CYLINDRICORUM LIBER I seguito dalle definizioni (1-14) non numerate e senza un titolo.
2v	Prima e seconda proposizione, quest'ultima seguita da un corollario. Entrambe le proposizioni sono accompagnate da figura.
3r	Terza proposizione, con figura, la cui dimostrazione termina nella pagina successiva.
3v	Conclusione della proposizione 3 cui segue un corollario, proposizione 4 e parte della prop. 5 con la relativa figura.
4r	Conclusione della prop. 5 e parte della proposizione 6 (non numerata). Una figura accompagna la prop. 6.
4v	Conclusione della prop. 6 e proposizioni 7 e 8 quest'ultima con figura.
5r	Proposizione 13 con relativa figura e inizio della proposizione 10.
5v	Conclusione della proposizione 10 con relativa figura e due corollari. Si possono notare due aggiunte a margine in cui l'autore accenna ad una possibile dimostrazione alternativa.
6r	Proposizione 14 e parte della 16. La proposizione 14 è senza figura nonostante i numerosi riferimenti con lettere ad una figura che è probabilmente quella della prop. 10 benché la costruzione debba essere fatta in modo diverso. Con la proposizione sedici troviamo la prima delle tre figure relative a questa proposizione.
6v	Continua la proposizione 16 e si ripete in una prospettiva leggermente diversa la figura della pagina precedente. Nove righe di testo ed un'aggiunta laterale sono cancellate ed un richiamo indica la sostituzione con un periodo scritto in fondo alla carta 7r.
7r	Seconda dimostrazione della prop. 16 con relativa figura. Segue l'enunciato della prop. 15 e quindi a fondo pagina il periodo da inserire nella carta 6v.
7v	Proposizione 9 con relativa figura.
8r	Enunciati delle proposizioni 11 e 12, una Addita post 13am e parte della proposizione 17 con figura.
8v	Continua la proposizione 17. La figura già presente nella pagina precedente viene rifatta più grande e con le lettere più leggibili. Al termine della proposizione 17 segue un periodo di otto righe cancellato e quindi un'aggiunta con richiamo da inserire nella carta successiva come conclusione della proposizione 18.
9r	Proposizione 18 e inizio della proposizione 19. A fondo pagina un'aggiunta con richiamo da inserire, come frase finale della prop. 18, subito dopo l'inserimento del periodo posto nella carta 8v.
9v	Conclusione della prop. 19 con relativa figura e la prima parte della proposizione 20.
10r	Fine della proposizione 20, proposizione 21, con relativa figura, e un corollario a quest'ultima.
10v	Proposizione 22 con figura e parte della proposizione 23.
11r	Parte conclusiva della proposizione 23 e quindi proposizioni 24, 25, entrambe con figura, e parte della 26. Alla prop. 25 segue un corollario scritto però a fondo pagina ed inserito con un opportuno richiamo.
11v	Conclusione della proposizione 26 con relativa figura.
12r	Proposizione 27 e parte della prop. 28 entrambe con figura.
12v	Fine della proposizione 28 con uno scholio ed un corollario.
13r	Inizia la seconda parte del primo libro con altre definizioni che in questo caso sono precedute dal titolo DIFFINITIONES.
13v	Proposizioni 29, 30 e parte della proposizione 31 con figura. Un corollario alla proposizione 30 è scritto all'inizio della pagina ed inserito con un richiamo dopo questa proposizione.
14r	Conclusione della prop. 31, seguita da un corollario, e inizio della prop. 32. Il corollario è scritto in realtà dopo la prop. 32, ma un richiamo indica il riferimento alla proposizione precedente.
14v	Proposizione 33 con relativa figura.
15r	Proposizione 34 con figura.
15v	Inizia il SERENI CYLINDRICORUM LIBER SECUNDUS. Il titolo è seguito da un festone. La lettera iniziale della prima proposizione appare di dimensioni molto maggiori delle altre. Si tratta di una C, inserita in un quadrato a sfondo tratteggiato, al cui interno si trova una decorazione. La pagina contiene una parte della prima proposizione con la figura relativa. A margine si leggono due aggiunte con un richiamo per l'inserimento.
16r	Parte finale della prima proposizione e seconda proposizione con la figura.
16v	Proposizione 3 seguita da uno scholio e da un corollario.
17r	Quarta proposizione seguita da un corollario.
17v	Parte della proposizione 5 con la figura relativa.
18r	Parte finale della proposizione 5.
18v	Proposizione 6 con figura.
19r	Parte della proposizione 7 con relativa figura.
19v	Conclusione della proposizione sette seguita da due scholia uno dei quali termina nella carta successiva. Il primo scholium è accompagnato da una figura identica a quella della prop. 7.
20r	Termina il secondo scholium alla proposizione 7. La frase LIBELLI SECUNDI CYLINDRICORUM SERENI FINIS scritta a forma di triangolo e seguita da una stellina chiude il secondo libro. Segue la data e il luogo della stesura: Messanae in freto siculo manu et industria Francisci Maurolycii 16o augusti 1534. Chiudono la pagina sei stelline a triangolo.

L'analisi della disposizione dei vari teoremi nelle carte del manoscritto, delle numerose aggiunte e dell'eliminazione di interi periodi, sostituiti da altri, scritti in pagine successive, suggerisce l'idea che il lavoro sia stato più volte rimaneggiato dal suo autore. In questo senso, esempi significativi si trovano soprattutto nella parte centrale del primo libro, all'interno di un gruppo di proposizioni che sembrano creare maggiori problemi all'autore. Illustriamo quanto appena detto propondendo l'esempio della Vorrei osservare che, dall'analisi delle parti più travagliate del manoscritto, non sembra che i cambiamenti introdotti siano fatti in periodi successivi alla stesura del trattato, ma questi appaiono piuttosto come il frutto di revisioni effettuate dall'autore mentre ancora sta lavorando al libro e, talvolta, aiutano a capire come l'autore sia giunto a formulare alcuni teoremi nella loro forma definitiva. D'altra parte, dall'osservazione del manoscritto risulta che alcuni corollari ed aggiunte sono scritti con un inchiostro diverso da quello usato per il testo. Nel primo libro, infatti, il corollario alla seconda proposizione, la frase per praecedentem nella terza proposizione, e l'ultima parola dell'ottava proposizione sono scritti con un inchiostro nero, non scolorito, mentre il resto del testo è scritto con un inchiostro che appare ormai di colore marrone. Si tratta in questi casi di aggiunte non certo molto significative e comunque non tali da introdurre elementi nuovi nella teoria esposta. Il corollario illustra una proprietà, del tutto banale, del parallelogramma per l'asse, deducibile con estrema facilità dalla definizione stessa di retta perpendicolare ad un piano.

Gli altri casi che abbiamo elencato sono, poi, specificazioni del tutto formali e dunque ancor meno importanti del corollario. Mi sembra, quindi, di poter concludere che il trattato, così come si presenta nel manoscritto, una volta terminato non abbia subito modificazioni sostanziali, ma abbia mantenuto del tutto inalterata la sua struttura¹¹.

Osservando la disposizione delle proposizioni, nella tabella 6, potremo notare che esse non sono presentate nel loro giusto ordine, ma con una numerazione che presenta salti e su cui l'autore è intervenuto in più riprese. Nel realizzare l'edizione del manoscritto abbiamo presentato le proposizioni nell'ordine finale indicato da Maurolico e non secondo l'ordine in cui sono disposte nelle varie carte¹². Qualora, a causa del riordino delle proposizioni, le citazioni di Maurolico risultino inesatte, in quanto non aggiornate secondo la nuova numerazione, abbiamo lasciato il testo originario e segnalato in apparato le proposizioni opportune.

7  Fonti

Euclidis Elementa edidit et latine interpretatus est I.L. Heiberg, Lipsiae, in aedibus B.G. Teubneri, 5 voll. (1883-1888)

F.Maurolico, Elementa Conicorum (opera giovanile perduta).

Sereni Antinoensis opuscola. Edidit et latine interpretatus est J.L. Heiberg, Lipsiae, in aedibus B.G. Teubneri, 1896

G.Valla, Georgii Vallae Placentini viri clariss. de expetendi et fugiendis rebus opus, Venetiis in aedibus Aldi romani, impensa ac studio Ioannis Petri Vallae filii pientiss. mense decembri MDI.

¹  Per un'approfondimento circa gli Elementa conicorum mauroliciani e le loro caratteristiche in rapporto alle Coniche di Apollonio si vedano [Tassora 1995] e [Tassora 1995b]

²  Su Sereno e la fortuna della sua opera si vedano J.L. Heiberg, Sereni Antinoensis opuscola. Edidit et latine interpretatus est, Lipsiae 1896 e P. Ver Eecke, Serenus d'Antinoe, le livre de la section du cylindre et le livre de la section du cône, traduzione dal greco al francese, Bruges 1929.

³  Per un'analisi approfondita delle differenze tra Sereni cylindricorum libelli duo e il De cylindrica sectione di Sereno si veda il già citato articolo di [Tassora 1995].

⁴  ``Quatuor reliquos Apollonii libellos nondum vidi, verum ex authoris ad Eudemum scribentis epistola coniecturam faciens quod illi continerent, per memetipsum theoremata quaedam ad quintum et sextum spectantia contexui. Non aliter cylindrica Sereni ut potui, sparsim collecta geminos in libellos redegi. Est autem cylindrica sectio parallelogrammum, si planum secans aut per axem, aut axis aequidistantiam ducatur: secus ebnim aut circulus erit aut ellipsis, qualis videlicet in cono fit". Il testo della lettera a Juan de Vega è stato pubblicato in [Macrì 1901] e, più recentemente, Rosario Moscheo ne ha data una nuova edizione in [Moscheo 1998b pp. 287-306].

⁵  Apollonii Conicorum libri quattuor. Una cum Pappi Alexandrini Lemmatibus, et Commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antisensis Philosophi Libri duo nunc primum in lucem editi. Quae omnia nuper Federicus Commandinus Urbinas mendis quamplurimis expurgata e Graeco convertit et Commentariis illustravit. Cum privilegio Pii III Pont. Max in annos X , Bononiae, 1566.

⁶  Per renderci conto di quanta parte dell'opera di Sereno sia riportata nel De expetendis, basti pensare che su 33 proposizioni del lavoro originario (secondo l'edizione critica di Heiberg), 15 sono riportate da Valla e sono quasi tutte quelle essenziali nella dimostrazione: mancano le due proposizioni in cui Sereno individua un diametro della sezione, alcuni problemi e le ultime proposizioni che, allontanandosi dallo studio della sezione cilindrica, sono dedicate a dimostrare risultati attribuibili all'ambito dell'ottica. Il quarto capitolo del libro tredicesimo del De expetendis manca di un'introduzione storica o di una presentazione generale dell'argomento ed inizia direttamente con le definizioni, incomplete, riprese dall'opera di Sereno. Seguono le proposizioni: quelle riportate sono complete di figure e dimostrazioni e non presentano interventi dell'autore né sotto forma di cambiamenti nelle dimostrazioni, né come commenti di carattere matematico. Chiudono questo capitolo le prime cinque proposizioni del secondo libellus di Sereno, il De sectione coni.

⁷  Ricordiamo che Commandino fu un traduttore molto attento a mantenersi fedele al testo originario. Possiamo, quindi, riferici alla sua traduzione per esporre il contenuto del trattato di Sereno.

⁸  L'edizione dei Sereni cylindricorum libelli duo è stata pubblicata in [Tassora 1995].

⁹  Leggiamo nella lettera a Bembo: ``Cur Menelai, Apollonii, Sereni praeclara nusquam audiuntur nomina?''.

La lettera è riportata interamente da [Moscheo 1988b, pp. 271-275 ].

¹⁰  Per una descrizione completa del manoscritto si veda il già citato [Moscheo 1988b, pp. 183-186 ]

¹¹  Per una dettagliata descrizione del manoscritto dal punto di vista delle delle aggiunte e delle correzioni al testo rimandiamo a [Tassora 1995]

¹²  Per una descrizione accurata delle successive rinumerazioni delle proposizioni del trattato rimandiamo ancora una volta a [Tassora 1995]

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